n元均值不等式的一种证明，一道小题的得到的灵感

先来看看up寒假作业上的一道题

这个D选项引起了up的注意，我们注意到：4刚好是2和8的几何平均数，而t₂也刚好是t₁和t₃算术平均数，提到这两个东西我们马上就联想到了基本不等式

画个图

由于3ˣ的图象是下凸的，所以2点连线中点的纵坐标总是在两点连线中点所对应的函数值上方，即（a+b）/2>√ab，这就是著名的基本不等式

而这幅图还让up连想起了另一个著名的不懂式——琴生不等式

可以看出，这个东西和本期主题n元均值不等式长得有点像，但n=2时，对f（x）=3ˣ就有

这就是刚刚的基本不等式，又叫二元均值不等式。

接下来我们讨论n元情况

对于f（x）=eˣ（不要问我为什么选这个，跟e有关的东西求导一般都比较方便），其二阶导数f''（x）=eˣ>0，所以f（x）为下凸函数（国外教材称为凸函数，上凸函数国外称为凹函数），那么根据琴生不等式就有

还是挺简单的

不过这次证明用了琴生不等式这个外挂，可能有一部分朋友不知道这个不等式，知道的可能也有一部分不会证，所以下次还会介绍其他证法，有空也会说一下琴生不等式

另外，用今天的方法，选取合适的函数，还可以证明以下不等式

包括柯西不等式也可以用这种方法证明

这些算是小作业吧

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