第二章 矩阵运算及向量组的线性相关性

定义2.1 矩阵的加法

定义2.2 矩阵的数乘

定义2.3 矩阵的乘法

1. 结合律

2. 分配律

3. 矩阵乘单位矩阵为自身

4. 数乘不影响矩阵乘法

存在A!=0,B!=0使得AB=0

可以类比多式定义矩阵多项式，可因式分解。

定义2.4 将矩阵A的同序数的行与列对换得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为A^T或A'

1. (A^T)^T=A.

2. (A+B)^T=A^T+B^T

3. (AB)^T=B^T •A^T

4. (sA)^T=sA^T

定义2.5 若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组

定义2.6 向量b称为向量组a1,a2,...,as的一个线性组合（即b能由向量组a1,a2,...,as线性表示），如果有数k1,k2,...,ks使

b=k1•a1+k2•a2+...+ks•as

成立

定义2.7 如果向量组a1,a2,...,as中的每一个向量ai（i=1,2,...,s）都可以由向量组b1,b2,...,bt表示，则称A能由B线性表示，如果两个向量组能互相线性表示，则称两个向量组等价

a. 反身性

b. 对称性

c. 传递性

定义2.8 如果向量组a1,a2,...,as(s>=2)中有一个向量能由其余的向量线性表示，那么向量组a1,a2,...,as称为线性相关的

定义2.9 向量组a1,a2,...,as称为线性相关，如果存在不全为零的数k1,k2,...,ks使

k1•a1+...+ks•as=0

成立

定义2.10 向量组a1,a2,...,as(s>=1)不线性相关，就称为线性无关

定理2.1 设a1,a2,...,ar与b1,b2,...,bs是两个向量组，如果

a. 向量组a1,a2,...,ar可以由b1,b2,...,bs线性表示

b. r>s

那么向量组a1,a2,...,ar必线性相关

推论2.1 如果向量组a1,a2,...,ar可以由b1,b2,...,bs线性表示，且a1,a2,...,ar线性无关，那么r<=s

推论2.2 任意n+1个n维向量组成的向量组必线性相关

推论2.3 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量

定义2.11 一个向量组的一部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关

定理2.2 一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量

定义2.12 向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数称为这个向量组的秩

定义2.13 矩阵的行秩就是矩阵的行秩，列秩同

引理2.1 如果齐次线性方程组的系数矩阵的行秩r<n，那么它有非零解

定理2.3 矩阵的行秩和列秩相等

• 若A为m×n阶矩阵，则

0<=r(A)<=min{m,n}

• R(A^T)=R(A)

• 若A~B，则R(A)=R(B)

• 当b为非零向量时，有

R(A)<=R(A,b)<=R(A)+1

定理2.4 向量b能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于(A,b)的秩

结论 向量组B能由向量组A线性表示，即有K使得B=AK，或方程AX=B有解

定理2.5 向量组B能由A线性表示的充要条件是R（A）=R（A，B）

定理2.6 向量组B能由A线性表示，则R（B）<=R（A）

定义2.14 逆矩阵

定理2.8 n阶矩阵可逆当且仅当R(A)=n

定理2.9 逆矩阵唯一

定义2.15 初等矩阵（左行右列）

定理2.11 等价命题

1. A可逆

2. R（A）=n

3. Ax=0只有零解

4. A列向量组线性无关

5. Ax=b有唯一解

6. A可化为E