参考《几何新方法和新体系》

一.共边比例定理的介绍

我们先来了解一下什么是共边比例定理，如下图

这四个图都有一个共同的结论：

怎么看待这个结论呢，下面我们来分析一下

首先，对于等式左边，是两个三角形的面积之比，再看图，这两个三角形共用了一条边，我们要把这条边当成一条定边，则要看成两个动点

那么就是在运动过程中所连线段所在直线与直线的交点，故有以上四种情况

再看等式左边，是点向两点引出的线段之比

读者请务必熟悉这个结论和上面4幅图，这对很多几何题的证明有很大的帮助

要想熟悉一个定理，莫过于证它一遍，下面就对这个定理进行证明（读者可以先自己思考，这样印象更深，毕竟这个定理的证明也不难）

二.共边比例定理的证明

这里以第一种情况为例

要证明成立，我们应从结论入手，先看等式左边，我们需要表示出两个三角形的面积，这就得用到三角形的面积公式，最常用的莫过于两种（和），这里显然选择第一种，因为这里结论中没有涉及到四边形的边的关系

因此，我们可以做出中以为底的高，如下图

则，有由于作的是垂直，所以，则有因此，从而得到结论成立

其他情况也类似证明

三.例题

分析：这道题属于直线相交型问题，题中没给出任何角度条件，仅仅给出了整个图的作图过程，最后让我们求证一个比值，这种问题往往就需要用到共边比例定理来解决

看到求证，不难想到连接，这样就出现了第4个模型，故而有

而又易得，所以

这道题相对较简单，关键是要看出模型，另外，模型的选用要结合已知条件（例如这道题中的中点）

分析：同样这道题也属于直线相交型问题，所以想到用共边比例定理

先看求证的左边，这是个线段比，我们需要找到两个合适的三角形来将这个比例转化为某两个三角形的面积关系，有图中不难看出有这样几组三角形等于这个比例：（这里前两个比由共边比例定理可得，后三个比由同高可得）

那么我们应该选哪一个呢，其实都可以，读者不妨试一试（大多情况相同，但是有些情况需要添加辅助线）

这里以第一个比为例，即，下面，我们要对右边进行变形，使得其又变成线段之间的比，要做到这个，我们就需要先将右边变成的形式，我们要在？处补上一个三角形的面积，最终使其转化为两条线段的比的乘积

那么回到图中去找这样的三角形

可以看到，图中都可以用，这里用进行说明，则

接下来，我们要将这个关于线段的比的乘积再次转化为关于面积比的乘积，但这时就要注意不能又绕回去了，所以我们应做到如下变换

这次，我们就要把问号的位置换一下，（之前的那个长这样），这样就不会绕回去，接下来就是选好三角形就行了

即，得证

总结这道题，就是将求证的左边的线段比转化为面积的比，然后又转化为线段的比，接着又转化为面积的比，最后得到线段的比即为要求的结论。而要注意的便是？处所填的面积或线段，不能绕回去了

最后写个过程

可以看到，用这种方法证明还是比较简单的，就是要熟悉模型罢了

四.练习

（更多的练习后续会发动态更新）