【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第四章因式分解

§4-3分组提取公因式的因式分解法

【01】我们来分解多项式：ax＋ay＋bx＋by 的因式。

【02】这是一个四项式。在四项里没有公共的因式，所以我们不能直接应用提取公因式的因式分解法。

【03】仔细考察这个多项式，可以看到它的前面两项都有一个因式 a，把它提出以后得到 ax＋ay＝a(x＋y)  。同时，这个多项式的第三项和第四项也都有一个因式 b，把它提出以后，得到 bx＋by＝b(x＋y)  。

【04】所以多项式 ax＋ay＋bc＋by 可以化成 ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝a(x＋y)＋b(x＋y)  。

【05】因为 x＋y 是 a(x＋y) 和 b(x＋y) 的公因式，再把它提出就得 ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)＝a(x＋y)＋b(x＋y)＝(x＋y)(a＋b)  。这样，我们就把原来的多项式分解成两个整式的积。

【06】象这样的分解方法，叫做分组提取公因式的分解法。

例1.分解因式：ax＋bx＋cx＋ay＋by＋cy  。

【解1】把含有 x 的项与含有 y 的项分成两组，每组各三项，得

【解2】把含有 a 的、b 的、c 的各项分成三组，每组各两项，得

例2.分解因式：ax＋bx－ay－by  。

【解1】ax＋bx－ay－by＝(ax＋bx)－(ay＋by)＝x(a＋b)－y(a＋b)＝(a＋b)(x－y)；

【解2】ax＋bx－ay－by＝(ax－ay）＋(bx－by)＝a(x－y）＋b(x－y)＝(x－y）(a＋b)  。

例3.分解因式：ax³－ax²＋ax－a  。

【解】先提取公因式 a，再分组分解。

【注意1】从 a(x³－x²＋x－1) 变到 a[(x³－x²)＋(x－1)]时，不要漏掉中括号，如果写做a(x³－x²)＋(x－1)，那就错了。

【注意2】a[(x－1)(x²＋1)]的中括号不需要了，因为三个因式，可以依次相乘，所以最后变成a(x－1)(x²＋1)  。

【附注】象四项式 ax＋ay＋bx一by，分组后可得 a(x＋y)＋b(x－y)，或 x(a＋b)＋y(a－b)，但不再有公因式，最后的运算仍旧是加法，没有达到因式分解的要求。这个四项式是不能分解因式的。

习题4-3

分解因式：

[提示：by² 与 ay² 调换位置，或 by² 与 bx² 调换位置]

【答案】