扔掉一项，豁然开朗（2021新高考Ⅰ导数）

（2021新高考Ⅰ，22）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设、为两个互不相等的正数，且，证明：.

解：（1）求导，得

令，解得，

当，，；

当，，.

（2）等价于

，

即，

令，，则待证命题即为

.

• 先证，

其等价于，（第一次转化）

又因，故，

故与同属，

由前文已知在此区间，故

（第二次转化）

又因，

故又等价于

（第三次转化），

即.

令，

其中，则

故，

故，

得证.

• 再证，

设

取，，使得：

易知：，.

构造函数：

当，易知，

故，

故，

故，

又因为，

故；

当，，

故，

故，

故，

故，

故，

又因为；

故；

所以.

综上所述：，证毕.