《几何原本》命题4.8【夸克欧氏几何】

命题4.8：

可作一已知正方形的内切圆

已知：正方形ABCD

求：作正方形ABCD的内切圆

解：

作AB中点F

（命题1.10）

作AD中点E

（命题1.10）

过点F作FK∥AD或BC，于CD交点记为点K

（命题1.31）

过点E作EH∥AB或CD，于BC交点记为点H，于FK交点记为点G

（命题1.31）

证：

∵FK∥AD∥BC，EH∥AB∥CD

（已知）

∴四边形AEGF是平行四边形

（定义1.22）

∵正方形ABCD中，AB=AD

（定义1.22）

且AF=½AB，AE=½AD

（已知）

∴AF=AE

（公理1.1）

同理可证GH=GK，GE=GF

∴GE=GF=GH=GK

（公理1.1）

∴以点G为圆心，GE,GF,GH,GK任意一个为半径作圆EFHK经过其余的点

（公设1.3＆定义1.15）

∵GE⊥AD，GF⊥AB，GH⊥BC，GK⊥CD

（可证）

∴AB,BC,CD,AD切于圆EFHK

（命题3.16推论）

∴圆EFHK是正方形ABCD的内切圆

（定义4.5）

证毕

此命题在本卷中未被使用

PS：倒数第三步的证明过程已被省略（因为原文中也没写）

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