帕普斯对合定理

在《帕普斯定理与交比不变性》这篇中，我们提到公元3世纪，帕普斯在他的《数学汇编(Collection)》中的第7册的引理3，引理10，引理11，引理12，引理13，引理15，引理17。

今天这里提到的是引理4的逆命题。

引理4逆命题

如果的边与一条截线相交于点、、，并且从任意点到其顶点的三条直线分别在横截线上相交于点、、，那么有以下命题成立：

可以写成交比的形式：

证明

这个证明很简单，我们只要注意到点列与点列关于点透视。因此有如下交比相等。

而点列与点列关于点透视。因此有如下交比相等

事实上，我们很容易得到

因此

证毕。

注意：若对交比性质比较熟练，我们可以立刻得到

完全四点形(complete quadrangle)

由平面上四个点(其中无三点共线)及其两两连结的六条直线所组成的图形称为完全四点形。

这四个点称为它的顶点，六条直线称为它的边，没有公共顶点的两边称为它的对边，对边的交点称为它的对边点，三对边点所构成的三点形称为它的对边三点形(或中心三点形)。

有了完全四点形的概念，我们可以将引理4的逆命题等价地表述如下：

一截线与完全四点形(complete quadrangle)的三对对边的三对交点形成的点偶分别为，，。则

我们注意到，如果在截线上存在一个双射,使得

那么，

我们双射称之为截线上的某一对合。

对合(involution)

令是一条线或二次曲线上的所有的的点集。变换被称为对合，当且仅当它满足以下两个条件：

(1)保持交比不变性，换一句话来说，对于任何点,

(2)对任意点,

我们称点偶为互逆对(reciprocal pair)。

以上是射影几何中，对合的数学定义。

更一般的来说，现在数学中的对合，表示为一种双射(变换,函数),使得逆映射等于自身映射。

即

我们称这样的双射(变换,函数)为对合映射。

这样，数学中有很多与对合有关的术语，如数理逻辑中的双重否定率，又称为对合率(involution law)。

对于欧几里得几何来说，反射变换(reflection transformation)也是一个经典的对合变换。

在射影几何中，对合(involution)这个术语第一个使用的应该是法国建筑师，数学家笛沙格。

笛沙格在1639年发表了《圆锥曲线论稿》，这个著作开创了射影几何学的研究。

据说，当年该书初版只印了50份，不久就全部散失了，直到1845年，法国数学家沙勒(Chasles)偶然发现笛沙格学生拉伊尔的一份手抄本。从此《圆锥曲线论稿》被列为近世纯粹几何的经典著作。

笛沙格为什么使用"Involution"来表示对合。这里一个可能的解释是，三对互逆对，六个点“纠缠”在一起。

involution有纠缠；错乱；错综复杂的意思，因此笛沙格可能出于这种考虑使用了"Involution de six Points"来表示六个点的对合关系。当然这是一种猜测。

有意思的是，今天involution经常被翻译为“内卷”。involution therorem难道可以翻译为“内卷定理”？对合率(involution law)难道可以翻译为“内卷法”？

最后我们在给出帕普斯对合定理。

帕普斯对合定理

一截线与完全四点形(complete quadrangle)的三对对边的三对交点形成的点偶分别为，，。这三对点偶为截线上的某一对合的互逆对。

帕普斯对合定理貌似在互联网上关于它的文章比较少，估计是由于它其实已经被笛沙格对合定理所包含，因此只需说明笛沙格对合定理即可。