2023数分Day59(傅里叶级数2：求展开式二)

2023-07-26 17:34 作者:看036 0人读过 | 我要投稿

一、整体感受

1、略微麻烦，相比之前一节，这里x取的时候需要观察；

2、对于反三角函数的性质需要一定的复习

二、需要复习的一些知识点

1、一些三角函数性质

sin(aπ）≠0，（这里是a，不是n，a∈(0,1))

sin(a+n)π=sin(aπ+nπ）=(-1)^n*sinaπ

2、积化和差以及和差化积公式（注意积化和差口诀中“异名函数取正弦”，这句话的意思针对本题就是“同名函数取余弦”）

（1）积化和差公式记忆口诀：

积化和差得和差，余弦在后要相加；

异名函数取正弦；正弦相乘取负号！

（2）和差化积公式记忆口诀：

正+正，正在前；余+余，余并肩；

正-正，余在前；余-余，负正弦！

3、对于计算过程中，可以先观察，不要死算！

利用奇偶函数的性质来操作。

对于反三角函数的话可以利用奇偶函数对于【-π，π】转换成【0，π】的情况中，此时可以让函数的取值分在【0，π/2】和【π/2，π】两段，不需要去看【-π，0】的情况。

4、比较arcsin(sinx)和arcsin(cosx）的Fourier级数展开结果

三、具体题目

1（北京师大）

第一问：

由于f(x)是偶函数，所以bn=0；

再去算a0,an（算an过程需要用到积化和差公式）；

符合收敛定理，写出f(x)；

令x=0，去变形转换便可以得到。

第二问：

观察到第一问要证的和第二问的关系，发现第一问是sinaπ，第二问是sinx，所以不妨让x=aπ，于是a=x/π

化简即可，同时关注到要证明的一个是π，一个是积分，不如让π化成在【0，π】上的被积函数为1的积分；

继续观察已知式子中有π/x,而要验证的式子是sinx/x，二者相差啥就做啥，于是对于已知式子入手，对于π/x,同乘sinx,同除π，便可得到。

注：做出这两道题的关键就在于观察

2（广西大学）

①先算f(x),由于是奇函数，注意f(x)要分成几段，因为arcsin(sinx)=x,x∈【-π/2,π/2】，剩下两段范围是不一样的，所以另外两段函数值需要变量替换算（对于【-π，-π/2】这段上，令x+π=t,此时t∈【0，π/2】；对于【π/2,π】这段上，令x-π=t,则t∈【-π/2,π/2】）最后把t换成x即可。

②由于f(x)是奇函数，所以an=0;接着算bn（算bn的过程，注意要先观察再算，【-π，π】可以变为2倍的【0，π】）

③利用收敛定理，得到f(x)的Fourier级数展开式。