学不明白的数学分析（五十九）

2023-02-24 19:20 作者:不能吃的大鱼 0人读过 | 我要投稿

好耶！含参变量反常积分的基本内容都已经介绍完啦！

从上一篇的内容来看，其实正如我所说，函数项级数与含参变量积分（尤其是反常积分）之间有着十分紧密的联系，所以理解起来并不困难。

而与函数项级数一样，在介绍完含参变量反常积分的基本内容之后，我们就要着重来对其应用做一些简单的介绍。在函数项级数部分，我们最后是介绍了比较重要的一类级数——幂级数。而在含参变量反常积分部分，我们则要着重介绍两类特殊积分——Euler第一型积分（Β函数）和Euler第二型积分（Γ函数）。

Chapter Eighteen 含参变量积分

18.4 Γ函数和Β函数

这两类函数的提出，并非突发奇想，而是在一定的数学问题之上引申而得来的。（比如非正整数的阶乘问题）具体的历史细节目前我没有找到太多比较详尽的内容，不过对此有兴趣的小伙伴倒是可以去阅读一些数学史相关的著作，了解其中的数学故事，便于理解这一部分内容。

我们先来讨论Euler第二型积分，它的表达式如下：

$%5CGamma%20(s)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

这是一个含参变量反常积分，那么我们首先就要问，它是否收敛，或者是一致收敛的？

考虑到被积函数的形式，我们将其分割成：

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%EF%BC%8C%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

这两个积分来讨论。

首先，如果s的范围是一不含0的正有限闭区间 $%5Ba%2Cb%5D$ ，则这两个积分一个是含参变量常义积分，一个是含参变量无穷积分，都是我们直接讨论过的内容，因此比较好判断。

我们能够想到：

$0%5Cle%20t%5E%7Bb-1%7D%5Cle%20t%5E%7Bs-1%7D%20%5Cle%20t%5E%7Ba-1%7D%5Cquad%20(0%5Cle%20t%5Cle%201)$

$t%5E%7Bs-1%7D%5Cle%20t%5E%7Bb-1%7D%20%5Cquad(t%5Cge%201)$

因此，我们能够知道：

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%20%5Cle%20%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7Ba-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%5Cle%20%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bb-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

于是，由Weierstrass控制判别法， $%5CGamma%20(s)$ 在任意不含0的正有限闭区间上一致收敛，即Euler第一型积分在上 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 内闭一致收敛，从而我们能够知道这一积分在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上连续。

当s=0时，有：

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7B-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%3D%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20x%5E%7B-1%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx$

由于：

$%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B-1%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%20%7D%7Bx%5E%7B-1%7D%7D%20%20%3D1%EF%BC%9E0$

则由比较判别法，此时 $%5CGamma%20(s)$ 发散；进而仍由比较判别法，当s＜0时，由于：

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%20%5Cge%20%5Cint_0%5E%7B1%7D%20t%5E%7B-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%20$

于是发散。

至此，我们知道， $%5CGamma%20(s)$ 在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上内闭一致收敛，从而连续；在 $(-%E2%88%9E%2C0%5D$ 上发散。

有了以上的结果，我们就能对 $%5CGamma%20(s)$ 的分析性质做以研究。比如说：

Euler第二型积分可微，且：

$%5CGamma%20%5E%7B(n)%7D(s)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Dt%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D(%5Cln%20t)%5En%20%5Ctext%20dt$

证明可以采用数学归纳法的思想，只需要对第一阶导数证明即可。

因为被积函数与其偏导数显然都是连续函数，因此根据上一篇专栏中介绍的内容，只需要证明：

$F(s)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%5Cln%20t%5Ctext%20dt$

一致收敛即可。思路与上面一致。

按道理，我们接下来应该研究一下这一积分的可积性质，不过由于其实实际上使用的比较少，所以我们不予讨论。

我们接下来尝试，对于Euler第二型积分而言，还能得到什么样的结论。

通过计算，我们得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%26%3D-%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20d(e%5E%7B-t%7D)%5C%5C%0A%26%3D-%5Cbigg(t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7D%5Cbigg%7C_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D-%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20d(t%5E%7Bs-1%7D)%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D(s-1)%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bs-2%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

即： $%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

$%5CGamma%20(s%2B1)%3Ds%5CGamma%20(s)$

（这里第二步实际上需证明等号右侧前一项一致收敛到0，但是因为过于简单，所以这里略去了。）

如果令s=n，为正整数，不难发现，这与阶乘的公式高度一致。如果我们能证明：

$%5CGamma%20(1)%3D1$

那么，此时这就是阶乘的表达式，从而我们可以说， $%5CGamma%20(s)$ 实际上是对于任意正实数的阶乘公式。

直接计算，不难得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5CGamma%20(1)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-t%7D%5Ctext%20dt%3D(1-e%5E%7B-t%7D)%5Cbigg%7C_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%3D1%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

这证明我们的想法是正确的。

而关于这一积分，Bohr和Mollerup在1992年首先发现，配合最后一个条件：

$%5Cln%20%5CGamma%20(s)$ 在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上是一个凸函数。

（命题1）

可以将函数在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上唯一确定成Euler第二型积分。也就是说：

设函数 $f$ 在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上满足：

（1）

$%5Cforall%20x%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cf(x)%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cf(1)%3D1$

（2）

$%5Cforall%20x%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cf(x%2B1)%3Dxf(x)$

（3）

$%5Cln%20f(x)$ 在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上是一个凸函数。

则有：

$f(x)%5Cequiv%20%5CGamma%20(x)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7Bx-1%7De%5E%7B-t%7D%20%5Ctext%20dt$

我们只要能够证明，满足着三个条件的函数是唯一的，因为我们已将找到了Euler第二型积分作为满足这三个条件的函数，因此一定就有结论成立。

考虑条件（2），只要 $f(x)$ 在 $(0%2C1)$ 上唯一确定，则函数就在 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上唯一确定。而由条件（3），我们能够得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cln%20f(n)-%5Cln%20f(n-1)%7D%7Bn-(n-1)%7D%20%26%5Cle%20%5Cfrac%7B%5Cln%20f(n%2Bx)-%5Cln%20f(n)%7D%7B(n%2Bx)-n%7D%20%5C%5C%0A%26%5Cle%20%5Cfrac%7B%5Cln%20f(n%2B1)-%5Cln%20f(n)%7D%7B(n%2B1)-n%7D%5C%5C%20%0A%26%5Cle%20%5Cfrac%7B%5Cln%20f(n%2B1)-%5Cln%20f(n%2Bx)%7D%7B(n%2B1)-(n%2Bx)%7D%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

由条件（1）（2），显然：

$f(n)%3D(n-1)!$

则：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%26x%5Cln%20(n-1)%5Cle%20%5Cln%20f(n%2Bx)-%5Cln%20(n-1)!%5Cle%20x%5Cln%20n%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26x%5Cln%20(n-1)%2B%5Cln%20(n-1)!%5Cle%20%5Cln%20f(n%2Bx)%5Cle%20x%5Cln%20n%2B%5Cln%20(n-1)!%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(n-1)%5Ex(n-1)!%5Cle%20f(n%2Bx)%5Cle%20n%5Ex(n-1)!%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(n-1)%5Ex(n-1)!%5Cle%20f(x)%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%5Cle%20n%5Ex(n-1)!%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26%5Cfrac%7B(n-1)%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%20%5Cle%20f(x)%5Cle%20%5Cfrac%7Bn%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%5C%5C%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

又因为：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bn%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%7D%7B%5Cfrac%7B(n-1)%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%7D%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn-1%7D%5Cbigg)%5Ex%20%3D1%20$

（这是关于x一致收敛的，证明也因较为简单而略去。）

于是：

$f(x)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%20%5Cfrac%7B(n-1)%5Ex(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bx)%7D%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5Exn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bx)%7D%20%20$

对于任意的x，由极限的唯一性，得到 $f(x)$ 也是唯一的。

进而我们得到：

$%5CGamma%20(s)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%20%5Cfrac%7B(n-1)%5Es(n-1)!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20(i-1%2Bs)%7D%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5Es%20n!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs)%7D%20%20$

接下来我们来讨论Euler第一型积分：

$B(p%2Cq)%3D%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt$

这个积分形式上比较复杂，别的不说，积分内含有两个参数，因此这一积分的讨论就要多一个角度。另外，在参数取到一定的范围时，这一积分就是瑕积分，讨论起来也不是很容易。

首先，p，q≥1时，这是含参变量常义积分；当p，q＜1时，我们将积分拆解为：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%EF%BC%8C%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt$

而：

$%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7Bq-1%7D%20(1-t)%5E%7Bp-1%7D%20%5Ctext%20dt$

所以只需要讨论前者即可。

由于p=0时，有：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7B-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%5Cge%20%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7B-1%7D%20%5Ctext%20dt$

因而发散，所以p≤0时，就有：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%5Cge%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7B-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%5Cge%20%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7B-1%7D%20%5Ctext%20dt$

发散。

当0＜p＜1时，做变换：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%3D%5Cint_%7B2%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20x%5E%7B-p-q%7D%20(x-1)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dx$

由于：

$%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B-p-q%7D(x-1)%5E%7Bq-1%7D%7D%7Bx%5E%7B-p-1%7D%7D%3D%20%20%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx-1%7D%20%5Cbigg)%5E%7B1-q%7D%3D1$

（还是一致收敛，还是略去。）

这样，我们就得到此时 $B(p%2Cq)$ 在p，q＞0时收敛，且关于任何一个参数都是在 $%5B0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上内闭一致收敛。并且从我们的讨论过程当中，我们可以敏锐地捕捉到一个点：

$B(p%2Cq)%3DB(q%2Cp)%5Cquad(p%2Cq%EF%BC%9E0)$

另外，我们还能通过直接计算得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%26%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20t%5E%7B-p-q%7D%20(t-1)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20t%5E%7B-p-q%7D%20%5Ctext%20d((t-1)%5Eq)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%20%20%5Cbigg(t%5E%7B-p-q%7D%20(t-1)%5E%7Bq%7D%20%5Cbigg%7C_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D-%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20(t-1)%5E%7Bq%7D%20%5Ctext%20d(t%5E%7B-p-q%7D)%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bp%2Bq%7D%7Bq%7D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20t%5E%7B-p-(q%2B1)%7D%20(t-1)%5E%7B(q%2B1)-1%7D%20%5Ctext%20dt%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bp%2Bq%7D%7Bq%7D%20%5Cint_0%5E%7B1%7D%20%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq%7D%20%5Ctext%20dt%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

即：

$B(p%2Cq%2B1)%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%2Bq%7DB(p%2Cq)%20$

也可以写作：

$B(p%2B1%2Cq)%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7Bp%2Bq%7DB(p%2Cq)%20$

最后，我们指出，这两类积分同为Euler积分，本质上是有一定的联系的：

$%5Cforall%20p%2Cq%EF%BC%9E0%EF%BC%8CB(p%2Cq)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%20(p)%5CGamma%20(q)%7D%7B%5CGamma%20(p%2Bq)%7D%20$

我们这里列出几种证明，其中比较能够揭示本质的，是这种：

而参考教材上则巧妙地利用了 $%5CGamma%20(s)$ 的三条性质及其唯一确定性，证明如下：

先设：

$f(p)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%20(p%2Bq)B(p%2Cq)%7D%7B%5CGamma%20(q)%7D%20$

然后：

这里还给出了一些性质，其中有些我们已经指出过了。

最后po个链接，里面的证明十分的硬核。（乐）

Euler积分—B函数与Γ函数 - BriChen的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/433589729

利用两类Euler积分之间的联系，我们来进一步给出它们的一些性质。

从第一型Euler积分的形式来看，忽略指数项的差异，被积函数本身是相当对称的，我们可以考虑一种换元：

$t%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x$

于是，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bp-1%7D%20(1-t)%5E%7Bq-1%7D%20%5Ctext%20dt%26%3D%5Cint_%7B-1%7D%5E1%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x)%5E%7Bp-1%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx)%5E%7Bq-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-p-q%2B2%7D%5Cint_%7B-1%7D%5E1%20(1-x)%5E%7Bp-1%7D(1%2Bx)%5E%7Bq-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

此时，若令p=q=s，就能得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bs-1%7D%20(1-t)%5E%7Bs-1%7D%20%5Ctext%20dt%26%3D2%5E%7B-2s%2B2%7D%5Cint_%7B-1%7D%5E1%20(1-x)%5E%7Bs-1%7D(1%2Bx)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-2s%2B2%7D%5Cint_%7B-1%7D%5E1%20(1-x%5E2)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-2s%2B2%7D%5Cbigg(%5Cint_%7B-1%7D%5E0%2B%5Cint_0%5E1%20%5Cbigg)(1-x%5E2)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-2s%2B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E1%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20y%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20(1-y)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dy%5C%5C%0A%26%3D2%5E%7B-2s%2B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E1%20y%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(1-y)%5E%7Bs-1%7D%5Ctext%20dy%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

即：

$B(s%2Cs)%3D2%5E%7B-2s%2B1%7DB(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Cs)%20$

将其改写为第二类Euler积分的形式，就是：

$%5Cfrac%7B%5CGamma%20(s)%5CGamma%20(s)%7D%7B%5CGamma(2s)%7D%20%3D2%5E%7B-2s%2B1%7D%5Cfrac%7B%5CGamma%20(s)%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%7D%7B%5CGamma(s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%7D%20$

我们现在来求 $%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%20$ 。我们使用一种比较巧妙的方式，这还是要利用到两类Euler积分之间的联系。

在第一类Euler积分当中，令p=s，q=1-s，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AB(s%2C1-s)%26%3D%5Cint_0%5E1%20t%5E%7Bs-1%7D%20(1-t)%5E%7B-s%7D%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20t%5E%7B-1%7D%20(t-1)%5E%7B-s%7D%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bt%5E%7B-s%7D%7D%7Bt%2B1%7D%20%5Ctext%20dt%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

这一积分目前我们解决不了，需要等到我们介绍过Fourier级数过后，才能够对这一结果给出证明。但是由于目前的需要，我们直接给出结果：

$B(s%2C1-s)%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csin%20(1-s)%5Cpi%7D%20$

当我们取s=0.5时，就有：

$B(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%20%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%7D%7B%5CGamma%20(1)%7D%20%3D%5CGamma(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5E2%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%7D%20%3D%5Cpi$

于是：

$%5CGamma%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%20%7D%20%20$

于是，我们就得到了两个很有用的结果：

$%5CGamma%20(2s)%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5CGamma%20(s)%5CGamma%20(s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)$

（倍元公式）

Gamma函数倍乘公式（勒让德倍乘公式）的推广 - PyroTechnics的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/435464646

$%5CGamma%20(s)%5CGamma%20(1-s)%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csin(1-s)%5Cpi%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csin%20s%5Cpi%7D%20$

（余元公式）

余元公式的几种证明方法 - fell的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/342206090

作为应用演示，我们来解决一个问题：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%7D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bi%2B1%2Bs%7D%20%20%3D%EF%BC%9F%5Cquad(0%EF%BC%9Cs%EF%BC%9C1)$

我们将倍元公式用第二类Euler积分的极限定义改写为：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5E%7B2s%7Dn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2B2s)%7D%26%3D%20%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5E%7Bs%7Dn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%7D%0A%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5E%7Bs%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Dn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs)%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%5E%7B2s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(i%2Bs)%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B2s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(2i%2B2s%2B1)%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(2i%2B2s)%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B2s%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5E%7B2n%2B1%7D%20(i%2B2s)%7D%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

左右两边约去相同的项，化简得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7Dn!%7D%7B%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%2B1%7D%20(i%2B2s)%7D%20%20%26%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D(n!)%5E2%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B(2n)!%7D%7Bn!%7D%20%7D%7B(2n)!%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%2B1%7D%20(i%2B2s)%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D(n!)%5E2%5Cprod_%7Bi%3Dn%2B1%7D%5E%7B2n%7D%20i%7D%7B(2n)!(n%2B2s)%5Cprod_%7Bi%3Dn%2B1%7D%5E%7B2n%2B1%7D%20(i%2B2s)%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B(2n)!(n%2B2s)%7D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%7D%5Cfrac%7Bi%7D%7Bi%2B1%2B2s%7D%20%5C%5C%20%20%20%20%20%0A%26%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%7B2%5E%7B2s-1%7D%7D%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

利用Wallis公式，等号右侧第一项满足：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B(2n)!(n%2B2s)%7D%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2n%2B2%7Dn%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(n!)%5E2%7D%7B(2n)!%7D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%2B2s%7D%20%20%3D4%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20$

于是就有：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%7D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bi%2B1%2B2s%7D%20%20%3D2%5E%7B-2s%2B3%7D$

即：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cprod_%7Bi%3Dn%7D%5E%7B2n%7D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bi%2B1%2Bs%7D%20%20%3D2%5E%7B-s%2B3%7D$

最后，我们来推广我们曾经介绍过的Stirling公式：

思考：

证明命题1，即 $%5Cln%5CGamma(s)$ 是 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上的凸函数；

（利用Hölder不等式）
计算积分：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%20%5Ccos%20%5E%5Calpha%20x%5Csin%20%5E%5Cbeta%20x%5Ctext%20dx$
计算积分：

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%20%5Ctan%20%5E%5Calpha%20x%5Ctext%20dx$
证明： $%5Cln%20B(s)$ 是 $(0%2C%2B%E2%88%9E)$ 上关于p的凸函数；
证明：

$%5Cint_0%5E1%5Cln%20%5CGamma%20(s)%5Ctext%20ds%3D%5Cln%20%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%20$
证明：

$%5Cint_0%5E1%20%5Csin%20%5Cpi%20s%5Cln%20%5CGamma%20(s)%5Ctext%20ds%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20(%5Cln%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B1)%20$