Urysohn 引理

Urysohn 引理     设X为正规空间，A和B是X中两个无交的闭集。［a, b］是实直线上的一个闭区间。则存在一个连续映射  f : X → ［a, b］ 使得对于A中的每一个x，有f(x)=a，并且对于B中的每一个x，有f(x)=b。

定义       设A和B是拓扑空间X的两个子集，如果存在一个连续函数 f : X→［0, 1］，使得f(A)=｛0｝,    f(B)=｛1｝, 那么就称A和B能用一个连续函数分离。

现在可能会提出这样的问题，Urysohn引理的证明是否能推广到正则空间上，既然在正则空间上能用无交的开集来分离点和闭集，那么是否也能用连续函数来分离点和闭集呢？

虽然，这并不能轻易做到。但是，能够用一个连续函数来分离点和闭集，这比要求用无交的开集来分离它们的条件更强。我们把这一条件当作一个新的分离公理。

定义        空间X称为完全正则的，如果每一个单点集是闭集，并且对于X中的每一个点X0和不包含X0的任何一个闭集A，存在一个连续函数 f ；X→［0, 1］，使得f（X0）=1 和f( A ) = ｛0｝

完全正则空间的子空间是完全正则的， 完全正则空间的积空间是完全正则的。

要找一个正则却非完全正则空间是比较困难的，已给出的大多数例子都很复杂，并要求熟悉基数理论。