欢迎光临散文网会员登陆 & 注册

圆的面积为什么是πr²

2022-03-14 09:36 作者:马同学图解数学 0人读过 | 我要投稿

相信同学们都知道，圆的面积为πr²。也都知道，可以用逼近的思想，用内接多边形来得到这个答案。

但你知道具体是如何操作的吗？本文就带同学们来推导一下。

1 内接等边三角形

先从最简单的内接等边三角形看起。

首先标出圆心和三角形的三个顶点，并且连接它们。这样就得到了大小相等的三个小三角形。

我们知道，两边及其夹角可以通过公式 $S_%5CDelta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab%5Csin%5Ctheta%20$ 得到三角形的面积。

此时，假设圆的半径为 $r$ ，则小三角形的两条边为 $r$ ，再加上圆心角为 $120%5E%5Ccirc$

很容易得到小三角形的面积为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%20120%5E%5Ccirc$

则内接等边三角形的面积为 $%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%20120%5E%5Ccirc$

2 内接等边四边形

看完了内接等边三角形，下面来看看内接等边四边形。

还是一样的标出圆心和顶点，并且连接它们。这样就得到了大小相等的四个小三角形。

此时圆心角为 $90%5E%5Ccirc$ ，则小三角形的面积为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%2090%5E%5Ccirc$ 。

继而得到内接等边四边形的面积为 $%5Cfrac%7B4%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%2090%5E%5Ccirc$

3 内接等边五边形

再来看看内接等边五边形。

还是一样的标出圆心和顶点，并且连接它们。这样就得到了大小相等的五个小三角形。且因为圆心角为 $72%5E%5Ccirc$ ，所以内接等边五边形的面积为 $%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%2072%5E%5Ccirc$

4 规律

算完了三个内接多边形的面积，下面来找找规律

将角度用弧度值来表示

写成弧度值后，很容易看出，内接多边形的通项为 $%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7Dr%5E2%5Csin%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7Bn%7D$

将 $n%3D5%2Cn%3D6%2Cn%3D7%5Ccdots$ 带入上式，可以得到下面这个图

可以看到随着 $n$ 不断增大，内接多边形的面积不断逼近 $%5Cpi%20r%5E2$ ，也就是其极限为 $%5Cpi%20r%5E2$

最后，我们来验算一下

5 计算

令 $t%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D$ ,则

标签：

圆的面积为什么是πr²的评论 (共条)