离地跳（BH）-iw百科
定义
离地跳（bunny hop, BH）是指在IWBTG系列游戏闯关时，通过在不稳定状态下起跳，使得kid起跳点或最大跳跃高度达到常规手段无法达到的值，从而通过某些常规手段无法或很难通过的障碍。属于高级技巧，最常用的场合是4.5格高墙和一段过平地纳豆。
离地跳不属于作弊或开挂，是游戏内的合理操作。
操作方法
一般操作方法如下：站在地面上，一段跳跳到空中，自然下落，当kid的脚与地面的头相距不足1.5像素，且超过0.875像素时，再次按下shift，此时系统判断kid使用一段跳，这种跳法即为离地跳。
对于kid的脚与地面相距不足1.5像素，且超过0.875像素这一判据，肉眼通常难以鉴别，因此一般的判别方式是粗略观察或在多次练习后凭直感判断。
（其实更一般的说法是：在kid的脚和地面似碰非碰的瞬间跳起来）
原理解释
下面以标准4.5格为例，解释离地跳的原理和必要性。
众所周知，在IWBTG系列游戏中，kid一般可以二段跳。在较流行的游戏引擎（yuuutu/yoyoyo）中，kid一段跳、二段跳的定义如下：
公理一：kid跳跃力度公理
跳跃力度，即在跳跃发生时，对kid竖直速度的赋值赋成多少。kid一段跳的力度是-8.5像素每步，二段跳的力度是-7像素每步。
公理二：kid重力值公理
kid的重力值是0.4像素每平方步。
公理二点五：kid上升速度截断公理
如果在kid上升中松开跳跃键，那么kid的竖直速度变成原值的0.45倍。
公理三：kid重力与速度效应公理
在每个步循环中，对kid是否跳跃进行的判断、kid的重力对kid竖直速度的改变、kid竖直速度对其实际位置的改变，这三个操作顺序如下：
判断kid是否进行跳跃 -> 给kid的竖直速度加上kid的重力 -> 给kid的竖直位置加上kid的速度
（其中第2、3步由系统完成）
推论一：kid最大跳跃高度推论
首先对一段跳进行分析。通过上述公理和简单除法运算可以得出，如果使用全力一段跳（长时间不松开跳跃键），其竖直速度为负，处在上升状态的“上升步”有：
floor(8.5/0.4) = 21步
这些步中其竖直速度分别是（单位是像素每步）：
(-8.5+0.4), (-8.5+0.4*2), (-8.5+0.4*3), ...... , (-8.5+0.4*21)
于是一段跳的最大位移就是：
(-8.5+0.4)+(-8.5+0.4*2)+(-8.5+0.4*3)+......+(-8.5+0.4*21)
=(-8.1-0.1)*21/2
=-86.1像素
即最大跳跃高度是86.1像素。
同法可计算出二段跳的“上升步”有17步，最大位移是：
(-7+0.4)+(-7+0.4*2)+(-7+0.4*3)+......+(-7+0.4*17)
=(-6.6-0.2)*17/2
=-57.8像素
由于连续使用一段跳、二段跳必经历一个松开跳跃键-重按跳跃键的过程，且如果在同一步内做出这两个操作，就会引发二段取消跳（JC），使二段跳的高度被大大降低。因此，两段跳连用能达到的最大高度，并不等于两段跳分开计算所得最大高度之和143.9像素。
为了避免引发取消跳，必须将松开跳跃键和重按跳跃键的操作错开一步，由于速度截断公理，这样会牺牲一些速度。显然，可能是最优选择的两个选择分别是：
在一段跳的最后一个上升步（开始跳跃20步后）松键，下一步重按。这样在该步的速度就不是(-8.5+0.4*21)=-0.1，而是((-8.5+0.4*20)*0.45+0.4)=0.175，损失了(0.175-(-0.1))=0.275像素每步的速度，其他各步的运动状态都无变化。于是最大跳跃高度就是(143.9-0.275)=143.625像素。
在一段跳的最后一个上升步的下一步（开始跳跃21步后）松键，再下一步重按。这样就多出了一步，该步的速度是(-0.1+0.4)=0.3，是下落步，不会发生速度截断。其他各步的运动状态都无变化，于是最大跳跃高度就是(143.9-0.3)=143.6像素。
可见选择1是最优选择，即：
在开始跳跃20步后松键，下一步重按，即可达到常规二段跳模式下的最大跳跃高度，143.625像素。
推论二引言：
在人们的一般印象中，只要kid的脚比地面高的时候往那边走，就能走过去（这话好像有点土）。因此，kid跳过障碍时只要跳到脚比障碍高再走就可以了。这符合人们日常生活中的直观印象。然而符合直观印象的事情并不一定准确：
公理四：kid与砖块碰撞规则公理
猜想一：place_free()小数情况下判断规则猜想
如图，以kid向右跳过一堵高墙为例。
从公理四中的代码中不难看出，这种情况下kid能否越过高墙，取决于在最高点处的place_free(x+hspeed,y)是真还是假：如果是假，执行的动作是：令kid贴紧墙体，并令kid的水平速度为0，即不发生水平移动，也就无法越过高墙；否则，不发生任何事，kid保持正常水平速度，在这个步循环中的特定时刻，kid的坐标加上这个速度，就越过了高墙。
那么，函数place_free()是什么？翻阅文档，描述如下：
即，假设把当前物体移动至指定位置，判断它是否会与某些固体实例相碰撞，返回计算结果。它不会实际移动物体，只是假设移动到指定的位置。
在本例中，固体实例是砖块，其他都是非固体实例。
（也就是用来判断一下，如果他继续往前走会不会碰砖头）
当各个实例的位置都是整数值时，对是否发生碰撞的判断较容易。以两个水平坐标值相等的等大矩形为例（图中1个小方格代表1个像素）：
假设蓝色矩形的头（最上面一行像素的竖直位置）是10，那么绿色矩形的脚（最下面一行像素的竖直位置）最少是10才能保证二者在交界处发生碰撞；是9则不发生碰撞。
那么如果绿色矩形的位置可以是小数呢？（实际上在IWBTG的一般引擎——GameMaker中这也是可以的）根据经验，我们作出以下猜想：
绿色矩形的脚大于9即是发生碰撞。
绿色矩形的脚不小于10即是发生碰撞。
绿色矩形的脚四舍五入为整数值后，大于9即是发生碰撞。
实验一：小数位置下place_free()的判断规则探究实验
使用GameMaker编写程序进行测试，蓝色矩形、绿色矩形都是长度80，宽度60，绿色矩形是固体，由蓝色矩形判断在本身位置的place_free()，结果如下：
做出初步结论，蓝色矩形的脚四舍五入为整数值后，大于20即是发生碰撞。猜想1的分支3成立。
但此处隐藏着一个诡异的设定。新增将蓝色矩形高度修改为61的另一组测试用例，结果如下：
由此可见，如果蓝色矩形的高度为偶数，则小数部分不大于0.5判舍，大于0.5则判入；
否则，根据整数部分的奇偶性判断舍入：
如果整数部分是奇数，则小数部分小于0.5判舍，不小于0.5则判入；
如果整数部分是偶数，则小数部分不大于0.5判舍，大于0.5则判入。
（非常诡异，我不理解GameMaker为什么会出现这样的情况）
kid的碰撞盒高度为21像素，是奇数，因此遵循后一种判断规则，即小数部分等于0.5时，是舍是入取决于整数部分的奇偶性。由于该种情况下判断方式过于复杂，后续不进行讨论。
于是，当kid的脚四舍五入后高于高墙的头，也即kid的脚高于(高墙的头-0.5像素的位置)时，就算kid跳过了高墙，此时向高墙方向走就能走到墙上。
（举个例子，假如墙的头是512，那kid的脚高于511.5，比如511.49、511.3等，就算他跳过了。）
推论二：怎么才算kid跳过了障碍推论
当kid的脚高于(高墙的头-0.5像素)时，就算kid跳过了高墙。
定义一：平地情况下的稳定状态定义
对于kid的一组y坐标和竖直速度值，如经过一个步循环后这组值没有变化，则称kid处在稳定状态。
推论三：kid稳定状态下起跳，起跳点是多高推论
首先规定，起跳点就是开始跳跃的那一步中kid的脚。
有读者朋友可能会问，这不是废话吗，不就是地面的头-1吗？
首先抛出结论，不是。
图为标准yuuutu引擎下测试结果。
kid的y坐标+8就得到了脚，是511.40，而地面的头是512，并不符合我们的猜想。下面解释原因。
根据yuuutu源码，本例中由playerStart创建的player，初始y坐标是503。
在kid被创建后玩家无操作，在一个步循环中，竖直速度由于重力效应从0改变成0.4，于是竖直位置增加0.4。此时，kid的脚是511.40，竖直速度是0.4，不与砖块发生碰撞（511.40四舍五入是511，不足512）。
下一步，kid的竖直速度变成0.8，脚变成512.20，发生了与砖块的碰撞。由于固体的“碰撞弹回”效应（即物体发生与固体的碰撞事件，则位置会回到上一步的位置），kid的脚变回511.40。随后在公理四的代码中，kid的竖直速度被赋值为0，此时kid的脚是511.40，竖直速度是0。
再下一步，kid的竖直速度变成0.4，脚变成511.80，发生了与砖块的碰撞。由于固体的“碰撞弹回”效应，kid的脚变回511.40。随后在公理四的代码中，kid的竖直速度被赋值为0，此时kid的脚是511.40，竖直速度是0，与上一步一致。因此在后续的时间内，kid稳定在脚是511.40，竖直速度是0的状态。
这是在自然状态下，由直接摆放在地面上的playerStart创建出的player的变化规律。但player的稳定状态并不止这一种，由上面的推理可知，一种状态是稳定状态当且仅当其有如下性质：
kid在当前位置不与砖块相碰。
kid的竖直速度是0。
kid在下一步与砖块相碰。
其中第1条除非一开始就把playerStart放在砖里，否则是不会发生的。（因为一碰就被弹回了）而在本例中，满足第2和第3条的kid的脚必处在下述区间：
(511.10, 511.50)
左限制条件是511.50-0.4（竖直速度是0，重力效应加0.4后与砖块相碰），右限制条件是511.50（当前不与砖相碰）。
因此：
如果kid站在地面上稳定后起跳，起跳点必在下述区间：(地面的头-0.9, 地面的头-0.5)
定义二：kid的ya定义
kid的y坐标的小数部分称为kid的ya(y-alignment)，如kid的y坐标是511.10，其ya则是0.10。
推论五：kid站在地面上起跳，最高能跳多高推论
之前已经计算出kid的最大跳跃高度是143.625，结合推论四，有：
如果kid站在地面上稳定后起跳，则根据ya的不同，最高点必在下述区间：(地面的头-144.525, 地面的头-144.125)
推论六：为什么常规跳法一般跳不了4.5格推论
4.5格高墙的头=地面的头-144，根据推论二（怎么才算kid跳过了障碍推论），kid的最高点也就必须高于(地面的头-144.5)才算他跳过去了。由于游戏中操作复杂，随机性很强，kid的ya可能处于任意值，就像抛硬币一样。假设kid的ya在可能范围，即(0.1, 0.5)内随机取值，且玩家操作非常完美（正好与推论一中所述符合），那么：
如果kid可跳过4.5格，其最高点必处在：
(地面的头-144.525, 地面的头-144.5)
于是，其起跳点必处在：
(地面的头-0.9, 地面的头-0.875)
其ya就必处在：
(0.1, 0.125)
而在地面上稳定后其ya是：
(0.1, 0.5)
故能跳过去的概率是：
(0.125-0.1)/(0.5-0.1)=6.25%
这个概率很小，在大量重复实验中平均每16次会出现一次。
实际上，玩家的操作也不一定能做到那么精确。推论一中计算表明，在出现失误的情况下次优跳法跳出的高度也只有143.6，无论kid的ya是多少，都不能越过4.5格。所以，用平地起跳的常规跳法去跳4.5格，一般要么就是操作失误，要么就是kid的ya不在那可怜的6.25%范围内（玩家并不能用肉眼直接看出kid的ya是多少），实战价值不大，这就是使用离地跳的必要性。即：
由于kid的ya随机性和操作的严格性，用常规跳法跳过4.5格的实战价值不大，有必要使用离地跳。
公理五：kid起跳判断公理
yuuutu引擎中关于起跳判断的代码如下（反重力情况略去）：
在普通地面上起跳时，发生的是否一段跳就取决于place_meeting()函数的返回值是否真。place_meeting()的文档描述如下：
即，假设当前物体在指定位置，判断其是否会与指定实例碰撞，并返回结果。与place_free()很相似，只是place_free()判断固体实例，本函数则判断指定的实例。
与实验一相似的实验表明，place_meeting()对小数的处理与place_free()一致，故不难得出，使得其判断为真的kid的脚必低于(地面的头-1.5)。例如地面的头是512，则kid的脚需低于510.5（注意place_meeting()的判断点在y+1），如510.51，511等。即：
对于在平地起跳的情况，如kid的脚低于(地面的头-1.5)，则使用的是一段跳。
定义三：平地情况下的不稳定状态定义
称kid不是处在稳定状态，却能使用一段跳的状态为不稳定状态。
推论七：为什么离地跳有战略价值推论
由推论三可知，kid稳定状态下起跳，起跳点处在下述范围内：
(地面的头-0.9, 地面的头-0.5)
而公理五表明，一段跳的使用条件，是kid的脚在下述范围内：
(地面的头-1.5, 地面的头-0.5)
未必是处在稳定状态。
可见，对于kid脚的某些更高的取值，kid不是处在地面稳定状态却能进行一段跳（这也是“离地”二字的含义），并且在操作完美前提下都能越过4.5格。因此，积极寻找这种不稳定状态来起跳，对于跳过4.5格就很有帮助。不妨一算，假设不稳定状态下kid的脚在该范围内随机取值，能跳过4.5格的概率是：
(1.5-0.875)/(1.5-0.5)=62.5%
是稳定状态下6.25%的整整10倍。
此外，离地跳也使得kid在某些非完美操作下也能越过4.5格。例如，次完美操作对应的跳跃高度是143.6像素，常规跳法不可能跳过4.5格。而增大了kid脚的范围后，只需其处在下述区间，即可越过4.5格：
(地面的头-1.5, 地面的头-0.9)
跳过的概率是：
(1.5-0.9)/(1.5-0.5)=60%
从0到60%，挺恐怖的不是吗？
即：
离地跳能大大提高跳过4.5格的概率，有实战价值。
理论数据
数据一：如何将ya=0.4调整至(0.1, 0.125)
在标准yuuutu引擎中，kid从平地上的playerStart出生，稳定后ya是0.4，此时如果存档，读档后ya也会是0.4。因此，虽然在实战中ya不可见且会受到多种高随机性因素影响，但0.4是一个相对确定可控的值。此时如果能通过某些简单操作使稳定后的ya处在(0.1, 0.125)，则在完美二段下就可以直接越过4.5格障碍。
通常改变稳定后ya的操作是原地一段跳。如果所需的高度容易控制，则可以在实战中通过这样的跳跃将ya调整至所需的值。显然，跳跃次数越少可控性就越强。根据计算，对初始ya为0.4，各个步数的一段跳进行一次后会将稳定后的ya改变为下列值：
（注：冒号前的数字表示一段跳步数，即如果在第0步按下跳跃键，第5步松开跳跃键，则称一段跳的步数是5步。因在第22步及以后松开跳跃键已经不会发生速度截断，故一段跳步数最多是22。）
可见，不能通过一次一段跳将ya从0.4改变至(0.1, 0.125)。退一步搜索可行的两次一段跳是否存在，结果如下：
注意，两次一段跳的步数可以互换，结果不变。
两次一段跳都控制到想要的步数一般较为困难。3次一段跳的可行方案很多，筛选出其中每一段都是9步以下或全力跳的可行方案如下：
22表示全力跳。
其中还有一种特殊情况：当在0.4的初始ya下连续三次全力跳起后，ya会改变为0.1，根据实验一中的结论，如果地面的头是偶数（在以8, 16, 32为单位网格的地图中很常见），则kid站在地面上时，其y坐标的整数部分就是奇数，小数部分是0.5会判定为与地面相碰撞，因此其ya会稳定在0.1。由于全力跳非常容易控制，在一般情况下，都可以通过这种方式将ya调整至0.1，然后在稳定状态下跳过4.5格。
（注意，这些数据的大前提是使用GameMaker8的yuuutu引擎。著名跳跃测试工具jtool使用的GameMaker版本是GameMaker: Studio，其中的情况可能与本理论不符合，尤其是最后提到的特殊情况。）
数据二：初始ya=0.4下一般的离地跳操作
前述中指出，准备动作结束后再次一段跳的时机，是“kid的脚离地面不足1.5像素且超过0.875像素”。由于kid的最高下落速度是9像素每步，加上重力效应，一步后y坐标最大增量是9.4，远超(1.5-0.875)=0.625。因此，对于固定的初始ya，如果准备动作中一段跳的力度不合适，kid可能不会落到(0.875, 1.5)的区间内，也就意味着离地跳必然失败。下面以固定初始ya=0.4为前提讨论，经计算，这种情况下可以顺利跳上4.5格的动作如下：
括号中第一个数是第一次一段跳的步数，第二个数是第二次一段跳的时刻（取第一次一段跳为第0步），冒号后的数是第二次一段跳的起跳点。例如，数据 (4, 26): -0.405 表示：在第0步使用一段跳跳起来，第4步松开跳跃键，第26步再次按下跳跃键并全力进行二段跳，则能够从(地面的头-0.405)处起跳，跳过4.5格。
从表中也可以看出，一段跳的步数是2、12、15、16、17、21、22时，离地跳必定失败。此外也可以看出，第一次用8步一段跳可以使第二次一段跳起跳点最高。
总结
公理一（kid跳跃力度公理）：kid的一段跳跃力度是-8.5，二段跳跃力度是-7。
公理二（kid重力值公理）：kid的重力值是0.4像素每平方步。
公理三（kid重力与速度效应顺序公理）：在每个步循环中，对kid是否跳跃进行的判断、kid的重力对kid竖直速度的改变、kid竖直速度对其实际位置的改变，顺序如下：判断kid是否进行跳跃 -> 给kid的竖直速度加上kid的重力 -> 给kid的竖直位置加上kid的速度。
推论一（kid最大跳跃高度推论）：在开始跳跃20步后松键，下一步重按，即可达到常规二段跳模式下的最大跳跃高度，143.625像素。
公理四（kid与砖块碰撞规则公理）：代码略
猜想一（place_free()小数情况下判断规则猜想）：猜想中指定的两矩形固定位置相碰的情形中，碰撞检查函数place_free()小数情况下判断规则可能如下：
绿色矩形的脚大于(蓝色矩形的头-1)即是发生碰撞。
绿色矩形的脚不小于蓝色矩形的头即是发生碰撞。
绿色矩形的脚四舍五入为整数值后，大于(蓝色矩形的头-1)即是发生碰撞。
实验一（小数位置下place_free()的判断规则探究实验）：实验证实猜想一中的分支3成立。
推论二（怎么才算kid跳过了障碍推论）：当kid的脚不低于(高墙的头-0.5像素)时，就算kid跳过了高墙。
定义一（平地情况下的稳定状态定义）：对于kid的一组y坐标和竖直速度值，如经过一个步循环后这组值没有变化，则称kid处在稳定状态。
推论三（kid稳定状态下起跳，起跳点是多高推论）：如果kid站在地面上稳定后起跳，起跳点必在下述区间：(地面的头-0.9, 地面的头-0.5)。
定义二（kid的ya定义）：kid的y坐标的小数部分称为kid的ya(y-alignment)。
推论五（kid稳定状态下起跳，最高能跳多高推论）：如果kid站在地面上稳定后起跳，则根据ya的不同，最高点必在下述区间：(地面的头-144.525, 地面的头-144.125)。
推论六（为什么常规跳法一般跳不了4.5格推论）：由于常规跳法对ya要求和玩家操作过于苛刻，而ya和操作的可控性不强，用常规跳法跳过4.5格的实战价值不大，有必要使用离地跳。
公理五（kid起跳判断公理）：对于在平地起跳的情况，如kid的脚低于(地面的头-1.5)，则使用的是一段跳。
定义三（平地情况下的不稳定状态定义）：称kid不是处在稳定状态，却能使用一段跳的状态为不稳定状态。
推论七（为什么离地跳有战略价值推论）：离地跳能大大提高跳过4.5格的概率，有实战价值。
数据一（如何将ya=0.4调整至(0.1, 0.125)）：一次一段无法做到，二次、三次一段可以做到。通常情况下三次全力跳可以将ya调整至0.1。
数据二（初始ya=0.4下一般的离地跳操作）：如果初始ya=0.4，而第一次一段跳的步数是2、12、15、16、17、21、22时，离地跳必定失败。使得起跳点最高的第一次一段跳是8步。
感谢各位读者朋友的认真阅读。如有错误，欢迎私信或在评论区指正。
第一次修改：
修改零：更换了一段过纳豆刺阵图。原图可以站倒刺。
修改一：将离地跳的跳跃时机修改为“距地面不足1.5像素且超过0.875像素”，原表述“距地面不足1.5像素”只是能用一段跳的范围，而不是使用离地跳的范围，是错误表述。
修改二：重写推论一，原表述逻辑不清晰。
修改三：总结中ya的定义修改为“定义二”，原写法“定义一”属笔误。
修改四：添加了理论数据部分。
修改五：修改实验一的步骤和结论，原实验步骤和结论有误。
EOF
