面面垂直的立体外接球半径求法

如图，O1O2即两个面的外接圆，题目已知条件为两个面互相垂直，所以两个外接圆所在平面垂直。根据外接球球心性质：O到内接体任意一个顶点的距离都相等=R。而三角形外心（外接圆圆心）的性质为到三角形三个顶点距离相等=r。结合上述性质，作O1所在平面的法线（垂直于该平面的直线）L1，同理作出L2，根据勾股定理得L1上的任意一点到O1圆周上的点距离都相等，L2同理，所以L1L2的交点即为外接球球心O。

以上仅是思路，但对证明有极强的引导作用。

AB为两平面交线，也是两外接圆的公共弦。取AB中点为M，则O1M垂直于AB，易证O1M垂直于面O2（面面垂直推线面垂直）从而O1M垂直于MO2

又因为L2垂直于面O2，所以L2//O1M

同理L1//O2M

综上可证四边形O1OO2M为矩形

外接球O到任意一顶点距离即为R

所以R^2=OO2^2+O2A^2

              =O1M^2+r2^2

              =r1^2-(L/2)^2+r2^2（L即AB）   

结论证毕！