数学分析教材为什么从实数系讲起？

数学非具体问题QA第一期

Q:数学分析教材为什么从实数系讲起？

A:数学分析这门课程的编写顺序和历史顺序是相反的。

历史顺序是积分→微分→极限→实数系，这在我们看来，似乎越早的人们越喜欢建造空中楼阁，可这并不是他们本意如此，而是“显然”在作祟。

联系下欧式几何与非欧几何你就明白了。欧式几何统治了那么久的江山，不就是因为“显然”吗。可后来随着非欧几何的出现，且非欧几何也能用于现实世界（相对论），就引出了一个问题，“显然”的东西就是确之无误的吗？

不，并不是。

所以随着历史的发展，人们开始向下发掘更深层的东西，给“显然”的东西一个安身立命的基石，而这个基石“显然”吗？

可能也不是，所以就这样，人们一点点向下填补空中楼阁，就有了历史顺序：积分→微分→极限→实数系。而到了今天，数学分析的基础就放到了实数系。注意，我用了一个字“放”，所以，真实情况并不是说现在数学就挖掘到这，而是这门课发掘到这。

实数当然能继续挖掘：实数→有理数→整数→自然数→集合论公理化。那集合论公理化“显然”吗？也不，正在填补。譬如已填补掉的罗素悖论，譬如未填补的连续统假设。其实也有可能，整个集合论公理化恰如欧式几何，存在另外一套不能融合的相抵的公理化基础，其隐没于“显然”之中。

如此，对于问题，读者是否有了自己的答案呢？