卡牌牛込里美【ソウルフル】等的“每得P就提升加分比例”类技能的强度的计算

问题背景

        在游戏《BanG Dream！少女乐团派对》日服第168期活动中，实装了牛込里美（Ushigome Rimi）的4★卡【ソウルフル（Soulful，日语罗马音：Sourufuru）】。以下是该卡技能的效果：

7秒間 スコアが100%UPし、さらにPERFECTを出すたびに、スコアUPの値が0.5%ずつUP（最大150%まで）

7秒内 提升得分100%。每一次得到PERFECT判定，提升得分的比例会增加0.5%（最大到提升150%）

        这是“每得到PERFECT就提升加分比例的分卡”在本游戏中的首次实装。研究此类分卡的技能强度，对最优卡组的组建具有重要意义。本文将对该卡技能的强度进行探讨，并给出计算此类分卡加分比例期望的通用公式。

计算过程

        要想获得150%的得分加成，至少需要在7秒内击中(150-100)÷0.5=100个NOTE，为此需要该段谱面的NPS（每秒NOTE数）至少为100÷7≈14.3。而鉴于目前全游戏NPS最高的《HELL! or HELL?》SP难度的NPS也仅有11.0，故在下面的讨论中，认为150%的得分加成是不会被达到的。

        在没有技能加成时，对于任一NOTE，得到PERFECT和GREAT判定时所得得分之比为1.1:0.8，不妨设对于任一NOTE，击中得PERFECT时得1.1分，得GREAT时得0.8分。

        假设一人在按下任一NOTE时，得到PERFECT判定的概率为，且不会出现GOOD及以下的判定，那么在没有任何技能加成的情况下，其在一有个NOTE的乐曲片段中，得到的PERFECT数服从二项分布，其得分的期望：

        假如在该段乐曲片段中，有牛込里美【ソウルフル】卡的技能发动。

• ①假如得到PERFECT判定时，这个NOTE立即得到额外+0.5%得分加成。

        那么，对于这一片段中第i个NOTE，它所得到的得分加成取决于在它之前的i-1个NOTE的判定情况，和第i个NOTE本身的判定情况。在它之前的i-1个NOTE给它带来的额外得分加成的期望是p(i-1)×0.5%。当它自己是PERFECT判定时，得分加成的期望再加0.5%，否则不加。于是有：

        因此加分比例期望就等于：

• ②假如得到PERFECT判定时，要到下一个NOTE才会得到额外+0.5%得分加成。

        则简单地有：

        加分比例期望是就等于。

总结、讨论

        ①如果得到PERFECT判定时，这个NOTE立即得到额外+0.5%得分加成，那么加分比例期望的计算公式是：

        公式中N是技能作用段中的NOTE数，p是PERFECT率，下同。

        ②如果得到PERFECT判定时，要到下一个NOTE才会得到额外+0.5%得分加成，那么加分比例期望的计算公式是：

        出于游戏实际情形，我们分别取N=40,50,60,70，取p=0.90,0.92,…,1.00，按①情形下的公式得到加分比例期望是：

        按②情形下的公式得到加分比例期望是：

        我们看到，在所给条件下，这张卡的技能强度和110%大分卡基本相当■。