专搞“线”的伯努利家族（Bernoulli Family）

17-18世纪的伯努利家族，可谓是声名鹊起，在数学、物理、工程、医学等诸多领域做出了卓越的贡献，如下图所示，黑色先代表伯努利家族四代的主要人物，蓝色代表其相对出名的成就，绿色箭头线代表师生关系。

整理完发现，伯努利家族的雅各布(I)和约翰(I)两兄弟就研究了四种有趣的“线”——悬链线、双纽线、摆线和螺线，下面就来一一说明。

一、悬链线（Catenary）

【问题导入】有一质地均匀、柔软（不能伸长）的绳索，固定绳索的两端，其仅受到重力的作用而下垂，试问：该绳索在平衡状态时是什么样的曲线？伽利略就曾错误地推测过悬链线是抛物线。（如：油画《抱银貂的女人》中项链的曲线等）

由此，悬链线的曲线形式最终为“双曲余弦”，如今：悬索桥、双曲拱桥、架空电缆、双曲拱坝都用到悬链线的原理。有关悬链线的问题，雅各布(I)最早开始研究，可是一年都没有进展，因为他始终陷入了证明“抛物线”的死胡同，而约翰(I)仅仅用了一个晚上便解决了，这足以让他在哥哥面前像个凯旋的将军，毫不谦虚。有关两兄弟“争奇斗艳”的故事也在后来被世人津津乐道。

二、双纽线（Lemniscate）

【问题导入】在研究过平面几何M点的运动过程中，对于两定点A和B的和（|MA|+|MB|>|AB|）、差（||MA|-|MB||=C）、商（|MA|/|MB|=C>0）分别可以代表椭圆、双曲线、圆。而引入准线的第二定义后，还能引入抛物线（M到焦点与其到准线的距离相等）。此时，如果设线段|AB|=2a，且M点满足乘积定值a*a，即，则M的轨迹是什么图形呢？

【缘由】天文学家卡西尼在研究土星卫星的运行轨道规律发现：平面内到两定点的距离之积为常数的点的轨迹为卡西尼卵形线。

【应用一】两个平行放置的相同无限长直导线在周围空间中所形成的等势线方程，为卡西尼曲线簇。

【应用二】对于特殊的卡西尼曲线：双纽线，如果在纽结中心处放置一引力中心，一质点沿此双纽线做有心运动，忽略力心的奇点效应，则此引力与距力心距离成7次方反比。

【背景知识】有心力作用下的轨道微分方程—Binet方程

【应用三】设置双纽线的墙壁，在纽结中心设置一良好的点光源，发出的光线各向同性、光强不变，则接收的光照度处处相同。

【引申：广义的卡西尼曲线】

三、旋轮线（Roulette）、最速降线（Brachistochrone）、摆线（Cycloid）

【问题导入一】车轮上的一个定点A在车轮滚动前行一圈的过程中，其形成的轨迹“旋轮线”应满足什么参数方程呢？

【问题导入二】存在一定高度差的A、B两点，如何设计一条用时最短的无摩擦路径？这条路径应该是什么形状呢？注意此时是用时最短，而非距离最短！

伽利略在1630年认为其是圆弧，后来也有猜想过是抛物线、悬链线，但事实上都是不对的，而约翰(I)则通过引入费马光行最速原理（光会走用时最短的路径，如：直射、反射和折射等，但无法证明），给出了其最短路径为摆线。

【知识回顾】光的传播性质

【知识储备】

【变分法求最速降线】

【引申问题】那么，对于最速降线上的任意一点下落到同一个位置，时间一样吗？

【问题导入三】行星际空间中，考虑稳定的太阳风速度和行星际磁场。太阳系内行星、彗星外逸层中性原子电离后会产生新生离子，试求新生离子的运动是什么轨迹？

四、对数螺线（Log spiral，亦称等角螺线）

【问题导入】有句话说“猫走不走直线，取决于耗子；蛾子飞不飞直线，取决于光源”，飞蛾扑火的现象到底是什么呢？飞蛾的飞行轨迹是什么曲线呢？

【拓展知识】除了飞蛾扑火，自然界的还有很多存在对数螺线的现象：鹦鹉螺螺纹、鹰类逼近猎物运动轨迹、正四边形蚂蚁运动轨迹、花瓣排列、向日葵种子排列、台风、旋涡星系悬臂、蜘蛛网等等。