24考研数学 睡前系列【基础篇】第21题｜利用导数定义求极限
- 求极限→定型四化定法→1的∞型：幂指转换 + ln1~f(x)-1
- 已知导数求极限→凑导数定义(3种定义写出来看那个更适应)
注意：依据导数定义→要保证1/n趋向0
- 可导→导数=左导=右导
- 然后直接写f(a)导代入结果
- 邻域vs去心邻域
邻域：这个点及其附近
去心邻域：不包括那个点
两者不同点：可以简单理解成邻域与去心邻域对函数连续的要求条件不同。邻域比去心邻域对函数连续性的要求更强。
邻域是一个特殊的区间，以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。点a的δ邻域：设δ是一个正数，则开区间（a-δ，a+δ）称为点a的δ邻域，点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。
a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，有时把开区间（a-δ，a）称为a的左δ邻域，把开区间（a，a+δ）称为a的右δ邻域。
一、为什么函数极限的定义要求邻域去心
我们在描述x→x0这个趋近的过程时，描述的就是 x→x0表示的就是由x向x0无限接近的过程，但这个过程中我们有x≠x0。
为了体现了x→x0但不相等的这个过程，我们将函数极限的定义取作去心邻域，让x无法取得x0的值。
如此一来，函数极限的定义就变得更为广泛，即使f(x)在x0处没有意义也可以求极限。也就是说，函数在x0处的极限只和函数在该点附近有关，与函数在该点是否有定义可以没有关系。
由此，我们建立了函数极限的定义，于此衍生出来的局部有界性、局部保序性、夹逼定理也自然都是在去心邻域内建立的了。
二、为什么函数连续的定义不要求邻域去心
在上面的分析中我们知道，函数在x0处的极限只和函数在该点附近有关，与函数在该点是否有定义可以没有关系。
因此，在一段函数图像上，点x处的邻域就可以被拆分成点x与点x的去心邻域两个部分。于是我们很自然地就得到了，要使得一段函数图像连续，那么点x处就必须与它对应的去心邻域结合成一个整体。
上面的分析中，我们知道去心邻域对应的就是点x处的极限值，而点x处对应的就是函数值，如此一来，要将他们联系成一个整体，只需要让函数值等于极限值即可。
由此，我们建立了函数连续的定义，自然就可以使用连成一个整体的【邻域】了，以此类推，可导概念的建立也自然就是使用【邻域】了。
三、为什么归结原则要求邻域去心
归结原则的定义中提到了去心邻域，假如我们不去心会怎样呢？
首先，我们在上面的分析中知道，极限值等于函数值是【函数连续】的定义。也就是说，对于较一般的函数来说，极限值并不一定等于函数值。在上述定义中就有可能出现，a点为间断点的情况。
其次，收敛于a的数列有可能可以取到a，也有可能永远取不到a。
结合以上两点举个例子，数列an=1/n和数列bn=0都是收敛于0的数列，若f(x)是一个在x=0处间断（函数值跳跃/无定义）的函数，那么我们可以得到，当n趋于无穷时f（an）不一定等于f(bn)。
在这里我们发现了邻域与去心邻域的不同，我们可以简单理解成邻域与去心邻域对函数连续的要求条件不同。邻域比去心邻域对函数连续性的要求更强。
