每天一个数学小知识——∞和∞+1哪个大？

如果单纯的指大小的话，引入阿列夫零之后，该相等还是相等。至于高阶和低阶，其实已经用微分的形式定义出了高阶无穷，低阶无穷，用来衡量逼近无穷的速度的。

这个东西的用处主要是体现在另一种极限过程（就是积分），主要与个数、测度和面积这种词有关。如果数轴上的点作为元素，大小和高低阶就相当于元素最远能到达的位置和到达那个位置的快慢，而阿列夫是衡量集合一共有多少点的。一个是局部性质，一个是整体性质。

视频一开始问你无穷和无穷加一哪个大？其实是说元素点之间的距离相等，有相当大一部分元素是重合的，如果我们最远的两个点是重合的（相等），那我们每个点都是重合的，都是一一对应的，那我们的个数就是一样的。所以视频其实在问集合有阿列夫零个元素，我加一个元素进去，它的个数改变了吗？我加阿列夫零个元素进去呢？我加阿列夫零次阿列夫零个元素进去呢？答案是以上情况，个数不变。

至于具体讨论无穷和无穷加a的大小，可以用实数的稠密性和完备性公理（这玩意儿有很多叙述形式，在这个问题中，最好用的叙述是实数轴上两个不相等的点之间一定存在无数个点，另外，公理不是定义，不是随心所欲的，他虽然不能被证明，但是也不能被证伪）反正即可。

不知道我表达清楚没有，也欢迎各位指正和讨论