【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章一次方程组 

§3-6*二元一次方程组的解的三种情况

【01】我们知道，任何一个二元一次方程经过变形后都可以化成 ax＋by＝c 的形式，这里，a 是未知数 x 的系数，b 是未知数 y 的系数，c 是常数项。

【02】因此，任何一个二元一次方程组经过变形后都可以化成下面的标准形式：

【03】现在来研究这一方程组的解的情况，我们约定 a₁，a₂，b₁，b₂ 都不等于零。

【04】用加减法先消去 y  。

        (1) × b₂，得 a₁b₂x＋b₁b₂y＝c₁b₂……(3)

        (2) × b1，得 a₂b₁x＋b₁b₂y＝c₂b₁……(4)

        (3)－(4)，得 (a₁b₂－a₂b₁)x＝c₁b₂－c₂b₁  。

【05】如果 a₁b₂－a₂b₁ ≠ 0，那末   。

        (1) × a₂，得 a₁a₂x＋a₂b₁y＝a₂c₁……(5)

        (2) × a₂，得 a₁a₂x＋a₁b₂y＝a₁c₂……(6)

        (6)－(5)，得 (a₁b₂－a₂b₁)y＝a₁c₂－a₂c₁  。

【06】如果 a₁b₂－a₂b₁ ≠ 0，那末   。

【07】所以，当 a₁b₂－a₂b₁ ≠ 0 的时候，这个方程组有一组解

【08】我们还可以看到，如果 a₁b₂－a₂b₁＝0，而 c₁b₂－c₂b₁ ≠ 0，或者 a₁c₂一a₂c₁ ≠ 0，那末 x 或者 y 没有意义，所以这个方程组没有解。

【09】如果 a₁b₂－a₂b₁＝0，c₁b₂－c₂b₁＝0 和 a₁c₂－a₂c₁＝0，那末 x 和 y 可以是任何值，所以这个方程组有无数多组解。

【10】概括起来说，二元一次方程组（a₁，a₂，b₁，b₂ 都不等于零）的解可以有下列三种情况：

        （ⅰ）当（就是 x 的系数和 y 的系数不成比例；也就是 a₁b₂一a₂b₁≠0）的时候，方程组有一组解

        （ⅱ）当（就是 x 的系数和 y 的系数成比例，但是和常数项不成比例；也就是 a₁b₂－a₂b₁＝0，而 c₁b₂－c₂b₁ ≠ 0，或 a₁c₂一a₂c₁ ≠ 0）的时候，方程组没有解。

        （ⅲ）当（就是 x 的系数与 y 的系数和常数项都成比例；也就是 a₁b₂－a₂b₁＝0， c₁b₂－c₂b₁＝0，a₁c₂一a₂c₁＝0）的时候，方程组有无数多组解。

例.不必解出方程组，确定下列方程组有一组解，还是没有解，还是有无数多组解：

【解】

        (1) ∵ ，∴ 方程组有一组解。

        (2) ∵ ，∴ 方程组没有解。

        (3) ∵ ，∴ 方程组有无数多组解。

习题3-6*

不解方程组，确定下列方程组有一组解，还是没有解，还是有无数多组解：

【1、一组解；2、无数组解；3、无解；4、无数多组解】