概率统计：平均几次能抽到塔菲表情包？

首先明确该问题是几何概型的一种（http://www.zhihu.com/question/26395948），也就是说假设单次事件发生的概率为，那么要到第次才发生的概率为二项分布中的情况：


由于我们已经确定了事件发生一定是最后一次，因此可以反过来统计所有情况中的期望，也就是：


将减去可得：


可知就是等比数列之和，且此和为，因此问题转化为求的值。

注：也可用随机过程马尔科夫链中的first time passage来解释，此处不表。贴吧有大佬提到此问题其实类似于多项分布（https://tieba.baidu.com/p/8537490099），由于我水平有限，只能用二项分布进行探讨，在此对于给予的指导表示感谢。

然而，由于塔菲表情包要求至少三张不同卡牌，也就是说实验必须至少从第二次起算（最多可能抽无穷大次也抽不中）。

从第二次开始，一共有两种情况：前两张卡牌相同或者不相同。对于后面的卡牌而言，不受到前两次抽取的影响，也就是无记忆性的（Memoryless Property）。因此根据几何概型，应从前两张卡牌相同和不相同分情况探讨。

为简化计算，先考虑前两张卡牌相同的情况。

①第一种情况，前两张卡牌相同，根据古典概型该情况共有24种可能性，经计算得概率为5.281605%（无后续数位）。

②第二种可能性，前两张卡牌不相同，由情况①可知该情况的可能性为94.718395%（实际上是94.898476%，这是由于四舍五入造成的微小误差）。此时面对第三次抽卡，问题转化为几何概型的二项分布，且为剩下22张卡牌的概率之和。但是，由于剩下22张卡牌的概率与前两张卡牌有关，因此必须先通过古典概型分类讨论：

使用excel计算的结果如下，第②种情况时平均需要1.060966629次可以抽到三张不同卡牌（基本一次中）：

回到第①种情况，前两张卡牌相同时，此时由于仍然不知道第三张卡牌是否会相同，因此必须继续分类讨论。
(1)假设第三张卡牌和前两张不同，问题转化为第③种情况，但前两次的概率计算公式不同，需对第一张卡牌计算两次：

得到结果为0.056次。


(2)假设第三张卡牌和前两张仍然相同，该种可能性之和为0.2930921%，由于可能性太低可不作考虑。

综上，我们根据前三次抽取的情况做了如下探讨：


①AB型，该种可能性的概率为94.898476%，平均需要再抽取次数为1.060966629次
②AA型，该种可能性的概率为5.281605%，下又分两种情况：
(1)AAB型，该种可能性的概率为4.9885129%，平均需要再抽取次数为0.056次。
(2)AAA型，该种可能性的概率为0.2930921%。


总平均抽取次数为2+1.06+0.056+0.0293*2=3.1746次。

为检验该数字的正确性，使用蒙特卡洛方法在python中进行一亿次抽样，代码如下：

得到结果为3.17381068次。

由于3.17381068与3.1746较为接近，可以认为计算比较符合现实。然而由于本文过度简化了实际概率情况，导致可能出现三位小数以后的误差，造成一定的不足。