24考研数学睡前系列【基础篇】第23题｜判断函数极值和单调性

2023-02-24 00:55 作者:微光小聪 0人读过 | 我要投稿

极值and单调性问题本质：在领域范围内控制导函数的正负性
★极限>0且跟单调性、极值有关→联想到脱帽保号性
画数轴表示去心邻域→x0的左右两边分别分析分母的正负号→结合结果的正负号推出分子的f导(x)的正负：先<0再>0→所以f(x)↓再↑有极小值

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邻域：这个点以及它的附近
谁可导谁连续：f(x)在x=x0可导→f(x)在x=x0连续，不能推出f导(x)连续

注：不能用比值极限存在的结论，because已知条件没有推出f导(x)在x=x0连续

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函数局部保号性

函数极限的保号性----“脱帽法”:“脱掉帽子”（即函数的极限）与“戴上帽子”（即函数值）的正负号是一致的。自变量趋向于一个点时，函数在这一点处的极限大于0，则立即推去掉帽子，函数值也大于0.反之也成立。其实这一性质的理解也是建立在函数极限的定义之上的，函数极限就是指去心邻域内的点，它们的函数值无限接近的一个数，那么这个数为函数的极限。因此，我们在学习这一性质的时候，应该清楚，要保证“函数极限的正负与函数值的正负一致”成立，有一个前提条件就是在x的去心邻域内，也就是x 附近的点。