三角函数家族科普大全（一）：探寻家族24个函数的定义域、值域、图像、导函数及原函数

2023-07-09 10:10 作者:无风云不动云动心如风 0人读过 | 我要投稿

本篇文章将带领大家探访三角函数家族，初步了解家族里面的24个成员，24个函数可以分为4大类，一类里面有6个函数，话不多说，直接切入正题（建议在电脑端进行观看，本篇文章的公式都是以图片的形式插入的，如果在手机端观看排版可能会出现问题，影响观感）

一.正弦、余弦、正切、余切、正割、余割

首先出场的，当然是大家最为熟悉的老朋友了，尤其是前三个，大家高中时期做三角函数题一定没少被前面三个兄弟折磨过，下面展开介绍

1. $y%3Dsinx$ ，也就是正弦函数，定义域为 $x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)$ ，值域为 $y%5Cin%20%5B-1%2C1%5D$ ，导函数为 $(sinx)'%3Dcosx$ ，原函数为 $%E2%88%ABsinxdx%3D-cosx%2Bc$

2. $y%3Dcosx$ ，也就是余弦函数，定义域为 $x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)$ ，值域为 $y%5Cin%20%5B-1%2C1%5D$ ，导函数为 $(cosx)'%3D-sinx$ ，原函数为 $%E2%88%ABcosxdx%3Dsinx%2Bc$

3. $y%3Dtanx$ ，也就是正切函数，即正弦函数除以余弦函数，因为余弦函数在分母，所以定义域需要满足 $cosx%5Cneq%200$ ，即 $x%5Cin(-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2Bk%5Cpi%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2Bk%5Cpi%20)%2Ck%5Cin%20z$ ，值域为 $y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)$ ，导函数为 $(tanx)'%3D(%5Cfrac%7Bsinx%7D%7Bcosx%7D%20)'%3D%5Cfrac%7B(sinx)'*cosx-sinx*(cosx)'%7D%7B(cosx)%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7B(cosx)%5E2%2B(sinx)%5E2%7D%7B(cosx)%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(cosx)%5E2%7D%20%3D(secx)%5E2$ 原函数为 $%E2%88%ABtanxdx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7Bsinx%7D%7Bcosx%7D%20dx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7Bd(-cosx)%7D%7Bcosx%7D%20%3D-ln%5Cvert%20cosx%20%5Cvert%20%2Bc$

4. $y%3Dcotx$ ，也就是余切函数，即余弦函数除以正弦函数，因为正弦函数在分母，所以定义域需要满足 $sinx%5Cneq%200$ ，即 $x%5Cin(k%5Cpi%20%2C%5Cpi%20%2Bk%5Cpi%20)%2Ck%5Cin%20z$ ，值域为 $y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)$ ，导函数为 $(cotx)'%3D(%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bsinx%7D%20)'%3D%5Cfrac%7B(cosx)'*sinx-cosx*(sinx)'%7D%7B(sinx)%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7B-(sinx)%5E2-(cosx)%5E2%7D%7B(sinx)%5E2%7D%20%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B(sinx)%5E2%7D%20%3D-(cscx)%5E2$ 原函数为 $%E2%88%ABcotxdx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bsinx%7D%20dx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7Bd(sinx)%7D%7Bsinx%7D%20%3Dln%5Cvert%20sinx%20%5Cvert%20%2Bc$

5. $y%3Dsecx$ ，也就是正割函数，即余弦函数的倒数，定义域和正切函数一样都是 $x%5Cin(-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2Bk%5Cpi%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2Bk%5Cpi%20)%2Ck%5Cin%20z$ ，值域为 $y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C-1%5D%5Ccup%5B1%2C%20%2B%E2%88%9E)$ ，导函数为 $(secx)'%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7Bcosx%7D%20)'%3D%5Cfrac%7B1'*cosx-1*(cosx)'%7D%7B(cosx)%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7Bsinx%7D%7B(cosx)%5E2%20%7D%20%3D%5Cfrac%7Bsinx%7D%7Bcosx%7D%20*%5Cfrac%7B1%7D%7Bcosx%7D%20%3Dsecx*tanx$ 原函数为 $%E2%88%ABsecxdx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7Bsecx*(secx%2Btanx)%7D%7Bsecx%2Btanx%7D%20dx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7B(secx)%5E2%2Bsecx*tanx%7D%7Bsecx%2Btanx%7D%20dx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7Bd(secx%2Btanx)%7D%7Bsecx%2Btanx%7D%20%3Dln%5Cvert%20secx%2Btanx%20%5Cvert%20%2Bc$

6. $y%3Dcscx$ ，也就是余割函数，即正弦函数的倒数，定义域和余切函数一样都是 $x%5Cin(k%5Cpi%20%2C%5Cpi%20%2Bk%5Cpi%20)%2Ck%5Cin%20z$ ，值域为 $y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C-1%5D%5Ccup%5B1%2C%20%2B%E2%88%9E)$ ,导函数为 $(cscx)'%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7Bsinx%7D%20)'%3D%5Cfrac%7B1'*sinx-1*(sinx)'%7D%7B(sinx)%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7B-cosx%7D%7B(sinx)%5E2%20%7D%20%3D-%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bsinx%7D%20*%5Cfrac%7B1%7D%7Bsinx%7D%20%3D-cscx*cotx$ 原函数为 $%E2%88%ABcscxdx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7Bcscx*(cscx%2Bcotx)%7D%7Bcscx%2Bcotx%7D%20dx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7B(cscx)%5E2%2Bcscx*cotx%7D%7Bcscx%2Bcotx%7D%20dx%3D%E2%88%AB%5Cfrac%7Bd(-cscx-cotx)%7D%7Bcscx%2Bcotx%7D%20%3D-ln%5Cvert%20cscx%2Bcotx%20%5Cvert%20%2Bc$

二.反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割

接下来这组函数，有学过高数的朋友应该也不陌生，这组函数分别与第一组对应的函数关于 $y%3Dx$ 对称，但由于反函数对称之后的图像，会导致一个x值对应多个y值，不符合函数的定义，所以数学上只截取了其中一小段，下面展开介绍

1. $y%3Darcsinx$ ，也就是反正弦函数，与 $y%3Dsinx$ 关于 $y%3Dx$ 对称，定义域为 $x%5Cin%20%5B-1%2C1%5D$ ，但是正如上文提到过的问题，数学上只截取值域为 $y%5Cin%20%5B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5D$ 这一段

其导函数推导过程如下所示

再利用分部积分法，求得原函数为

2. $y%3Darccosx$ ，也就是反余弦函数，与 $y%3Dcosx$ 关于 $y%3Dx$ 对称，定义域为 $x%5Cin%20%5B-1%2C1%5D$ ，数学上只截取值域为 $y%5Cin%20%5B0%2C%5Cpi%20%5D$ 这一段

其导函数推导过程如下所示

再利用分部积分法，求得原函数为

3. $y%3Darctanx$ ，也就是反正切函数，与 $y%3Dtanx$ 关于 $y%3Dx$ 对称，定义域为 $x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)$ ，数学上只截取值域为 $y%5Cin%20(-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20)$ 这一段

其导函数推导过程如下所示

Tips:对于正割函数和正切函数，有关系式 $(secx)%5E2%3D(tanx)%5E2%2B1$ ，证明方法为 $(secx)%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(cosx)%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7B(sinx)%5E2%2B(cosx)%5E2%7D%7B(cosx)%5E2%7D%20%3D(tanx)%5E2%2B1$

再利用分部积分法，求得原函数为

4. $y%3Darccotx$ ，也就是反余切函数，与 $y%3Dcotx$ 关于 $y%3Dx$ 对称，定义域为 $x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)$ ，数学上只截取值域为 $y%5Cin%20(0%2C%5Cpi%20)$ 这一段

其导函数推导过程如下所示

Tips:对于余割函数和余切函数，有关系式 $(cscx)%5E2%3D(cotx)%5E2%2B1$ ，证明方法为 $(cscx)%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(sinx)%5E2%7D%20%3D%5Cfrac%7B(sinx)%5E2%2B(cosx)%5E2%7D%7B(sinx)%5E2%7D%20%3D(cotx)%5E2%2B1$

再利用分部积分法，求得原函数为

5. $y%3Darcsecx$ ，也就是反正割函数，与 $y%3Dsecx$ 关于 $y%3Dx$ 对称，定义域为 $x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C-1%5D%5Ccup%5B1%2C%20%2B%E2%88%9E)$ ，数学上只截取值域为 $y%5Cin%20%5B0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20)%5Ccup%20(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2C%5Cpi%20%5D$ 这一段

其导函数推导过程如下所示

再利用分部积分法，求得原函数为

6. $y%3Darccscx$ ，也就是反余割函数，与 $y%3Dcscx$ 关于 $y%3Dx$ 对称，定义域为 $x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C-1%5D%5Ccup%5B1%2C%20%2B%E2%88%9E)$ ，数学上只截取值域为 $y%5Cin%20%5B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2C0)%5Ccup%20(0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5D$ 这一段