【数学基础132】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（一）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&1.常微分方程的基本概念

a.定义——

形如F（x，y，y'，y"，……，y^(n)）=0的关系式——y为未知函数，x为自变量，含有y的导数的方程。

b.常微分方程的阶数——

含有n阶导数，就是n阶方程。

例子——

y"+y=0是二阶方程；

（dy/dx）^8+sin^2 x+9y=0是一阶方程。

c.微分方程的解——

求得函数y=f（x），满足F（x，f（x），f'（x），f"（x），……，f^(n)（x））=0。

例子——

y=cos x 和y=sin x都是微分方程y"+y=0的解——

对y=cos x，y"=-cos x，满足关系式；

对y=sin x，y"=-sin x，也满足关系式。

例子——自由落体的速度与时间成正比，求运动规律。

距离函数s=s（t），t是时间；

速度与时间成正比，即ds/dt=gt，g为常数

s=（1/2）gt^2+c，c为任意常数。

如果已知t=0时，s=s0，那么我们得到方程组——

1. ds/dt=gt

2. t=0时，s=s0，——初值条件

已知初值条件求微分方程的问题称为初值问题。

定理：一般情况下，一阶常微分方程的解含有一个任意常数，二阶微分方程的解含有两个任意常数，n阶微分方程的解含有n个任意常数。

例子——解微分方程y"=f（x）。

1. y'=∫f（x）dx+c1；

2. y=∫（∫f（x）dx+c1）dx+c2=∫（∫f（x）dx）dx+c1x+c2。——其中c1、c2为任意常数。

d.微分方程的通解——

以二阶微分方程F（x，y，y'，y"）=0为例：y=φ（x，c1，c2）（或Φ （x，y，c1，c2）=0）为其通解，其中c1，c2为两个相互独立的常数。

e.二阶微分方程的初值条件——

1. F（x，y，c1，c2）=0；

2. x=x0时，y=y0，y'=y1 ——二阶微分方程的初值条件，需要给两个值。

二阶微分方程初值问题的解——

将初值条件代入二阶微分方程的通解，y=φ（x，c1，c2）（或Φ （x，y，c1，c2）=0），得到的唯一确定的函数y即为所求初值问题的解。

f.线性方程——

n阶微分方程F（x，y，y'，y"，……，y^(n)）=0的关系式，如果其中的未知函数y以及各阶导数y^(i)都是一次，则这个微分方程是线性微分方程，形如：

y^(n)+p1（x）y^(n-1)+p2（x）y^(n-2)+……+pny=f（x）。——不含有类似于（y^(i)（x））^k或（x^p）（y^(i)（x））^q这样的项。

g.二阶线性微分方程——

形如y"+p（x）y'+q（x）y=f（x）的方程。