『数学』点的存在性问题4:直角三角形＆二次函数例题精讲1(余式定理)

2023-04-02 20:34 作者:Unfair-sany 0人读过 | 我要投稿

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别问我为什么现在还能更新,谁不会偷偷用电脑啊(doge.

读前须知:

本期例题需要用到从A到S共19个字母,请仔细辨析.

本期要解四次方程,可能会用到双十字相乘法,建议酌情观看及学习.

正文:

我承认,这一期的难度是有的,但为什么要把这个题叫做例题呢?因为这题和那些难题相比,它是可以想出来怎么做的,只是计算难了些而已,所以它最多只能说是例题.

那我们开始吧.

一.例题

例.(2022海南)如图1,抛物线 $y%3Dax%5E2%2B2x%2Bc$ 经过点A(-1,0),C(0,3),并交x轴于另一点B,点P在第一象限的抛物线上,AP交直线BC于点D.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)当点P的坐标为(1,4)时,求四边形BOCP的面积;

(3)点Q在抛物线上,当 $%5Cfrac%7BPD%7D%7BAD%7D%20$ 的值最大且△APQ是直角三角形时,求点Q的横坐标;

(4)如图2,点G在x轴上且横坐标为n,点H在第一象限内,满足 $CH%5Cbot%20CG$ 且CH=CG,过GH的中点K作KI平行于y轴,交抛物线于点I,连接IH,以IH为边作出如图所示的正方形HIMN,当顶点M恰好落在y轴上时,请直接写出点G的坐标.

这里我对题目进行了一些删改,其实主要就是废话的删去.

像(4)问根本不需要点P,所以我才把题目给改一下.

若是不想听这个题的话,请直接跳过.

二.讲解

(1)问不想说, $y%3D-x%5E2%2B2x%2B3$ .

(2)问老办法,过P作 $PE%5Cbot%20x%E8%BD%B4$ 交BC于E.如图4:

易得lBC:y=-x+3,则E(1,2),PE=2.

则S四边形BOCP=S△BOC+S△CPB= $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DOB%5Ccdot%20(OC%2BPE)$ = $%5Cfrac%7B15%7D%7B2%7D$ .

(3)问的最值其实也是老办法,但是我们要把两动线段的比值转换为一定一动的比.

如图5,过点A作AF平行于y轴交直线BC于F.

那么就有△PDE∽△ADF,可得 $%5Cfrac%7BPD%7D%7BAD%7D%3D%5Cfrac%7BPE%7D%7BAF%7D$ .

有时像这种比例最值还会考三角形面积之比的最值,如 $%5Cfrac%7BS_%7B%E2%96%B3PDC%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ADC%7D%7D%E6%88%96%5Cfrac%7BS_%7B%E2%96%B3PDB%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ADB%7D%7D$ ,其实就和刚刚的转换一样,只不过用两三角形等高将面积之比转换为线段之比罢了.

设 $P(m%2C-m%5E2%2B2m%2B3)$ ,则E(m,-m+3),F(-1,4),可得 $PE%3D-m%5E2%2B3m$ ,AF=4.

配方,可得 $%5Cfrac%7BPD%7D%7BAD%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(m-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D)%5E2%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B16%7D$ ,易得 $P(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B15%7D%7B4%7D)$ .

接下来我们就讨论直角三角形的存在性问题.

①∠APQ=90°

如图6,作 $PQ%5Cbot%20AP$ 于P交抛物线于Q.

易得lAP: $y%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$ ,可得lPQ1: $y%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%2B%5Cfrac%7B19%7D%7B4%7D$ .

联立抛物线可解得 $Q_1(%5Cfrac%7B7%7D%7B6%7D%2C%5Cfrac%7B143%7D%7B36%7D)$ .

②∠PAQ=90°

如图7,作 $AQ%5Cbot%20AP$ 于A交抛物线于Q.

同理,有lAQ2: $y%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D$ ,与抛物线联立解得 $Q_2(%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%2C-%5Cfrac%7B28%7D%7B9%7D)$ .

③∠AQP=90°

如图8,以AP为直径画圆L交抛物线于Q.

易得 $L(%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2C%5Cfrac%7B15%7D%7B8%7D)%2CAP%3D%5Cfrac%7B5%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B4%7D$ ,可得 $%5Codot%20L%3A(x-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D)%5E2%2B(y-%7B15%7D%7B8%7D)%5E2%3D(%5Cfrac%7B5%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B8%7D)%5E2$ ,即 $4x%5E2-2x%2B4y%5E2-15y%3D6$ .

将其与抛物线联立,可得一个四次方程 $4x%5E4-16x%5E3%2B11x%5E2%2B16x-15%3D0$ .

估计同学们看到这个方程的时候估计脑袋都大了,毕竟我们只学到了一元二次方程,面对四次方程我们也只能望着发呆(｀・ω・´).

那么这时候又该怎么办呢?有同学想到用一元四次方程的求根公式来求根,emm...我只能说你慢慢去用公式求根吧.

其实我们可以思考一下这个四次方程的根的函数意义是什么?就是那个圆和抛物线的交点的横坐标,对吧?你想一下,这个圆和抛物线交于哪些点?除了点Q,还有点A和点P哇!那么可以说明这个四次方程有两根为点A和P点的横坐标,对吧.

如果理解不了就算了,你就只能用试根的方法来求解了.

据上所述,那么那个四次五项式就有因式(x+1)(2x-3)了,对吧?你想嘛,如果存在x=m使一个多项式的值为0,那么原多项式就可以写成(x-m)乘以另外一坨多项式,只有这样才可以保证当x=m时,原多项式的值为0.

刚刚说的内容其实和余式定理差不多了.你们应该可以理解吧.

对四次方程因式分解,得 $(x%2B1)(2x-3)(2x%5E2-7x%2B5)%3D0$ .

对二次三项式进行十字相乘法分解,得(x+1)(2x-3)(x-1)(2x-5)=0.

解得x1=-1,x2=1, $x_3%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2Cx_4%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D$ ,可得 $Q_3(1%2C4)%2CQ_4(%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B7%7D%7B4%7D)$ .

综上, $x_%7BQ_%7B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B6%7D%2Cx_%7BQ_%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%2Cx_%7BQ_%7B3%7D%7D%3D1%2Cx_%7BQ_%7B4%7D%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D$ .

这里我把(3)问的辅助线放一下,如图9

(鬼知道我在解一元四次方程的时候在想的什么,居然再用双十字相乘法,重点是还分解出来了!)(喜

(4)问就是一个一线三等角的应用而已罢了.

如图10,

不难得出 $%E2%96%B3COG%5Ccong%20%E2%96%B3CJH$ ,有OG=JH=-n,则H(3,3+n).

可得 $K(%5Cfrac%7B3%2Bn%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B3%2Bn%7D%7B2%7D)$ ,也就得到了IR的长度.

又由 $%E2%96%B3IRM%5Ccong%20%E2%96%B3HSI$ ,可得 $SH%3D%5Cfrac%7B3%2Bn%7D%7B2%7D%5CRightarrow%20I%E7%9A%84%E7%BA%B5%E5%9D%90%E6%A0%87%E4%B8%BA%5Cfrac%7B9%2B3n%7D%7B2%7D$ .