【七圣召唤】元素骰子概率入门：用数学计算回答七圣问题
牌手在卡组构筑时以及对决过程中时常面临以下问题：在不撕卡的情况下骰子一般支持怎样的攻击节奏？如果希望使用单色角色连续进攻我方撕卡的预期数量是多少？携带某张高费对策卡牌时我方能单回合内在不影响正常进攻节奏的情况下使出该卡概率是多少？如果不计成本地倾斜资源使出该卡的概率又是多少？在首次投掷中获得特定骰子组合后在重掷时应采取怎样的策略？
以上问题的解答对于指导对局决策以及评价单卡强度具有相当分量的意义，但许多牌手在面对这些概率问题时又可能会有一种无力感：该如何使用数学语言描述这些骰子问题，又该用怎样的算式解决这些概率问题呢？在本篇中红衣（请允许笔者冒昧以此自称）就此进行展开以为您提供一些解决骰子概率问题的思路，而在文末红衣还将简单分享与介绍一些骰子概率问题相关的算式，并在下一篇文章中详尽展开。
一、本文及后续讨论将可能用到的一些概念
爆炸的工作量使得红衣暂时弃坑了魈卡的强度及决策相关概率分析，却厘清了一些元素骰子概率问题常用的概念。尽管七圣召唤已经发布了一个版本，但各社区对于骰子概率的讨论并不多，在再次动笔概率讨论前红衣少有地去了社区搜索相关内容，却发现大家似乎并不乐意对这些概念作系统性的阐述。因此请允许红衣在正式开始讨论前先对这些概念进行一下说明。
（一）用于描述事件的相关概念
在同时考虑攻击与打出纯色手牌时我们可能会如此描述一个事件：“我方三名角色分别持有火、火、水3种神之眼，在未放置骰子相关场地卡时，在首轮投掷中我方获得3个水火或万能骰子并且另外获得3个非水火非万能的相同颜色的骰子，剩余2个骰子既非水火、万能也非前文所言的纯色骰子”。这段描述是必要的，精确的描述使它能够避免歧义对情景的误导，但显然它也是冗长的，即使是在描述单个情景它也极大地拖慢了交流及记录的速度，更别提在综合考虑首次投掷与重新投掷时我们将反复申明与之类似的事件，因此红衣希望以更加简明的、近于公式化的表达来描述事件，例如：“（色8）掷8纯3靶3中靶3”。
“色”：指骰子所可能出现的颜色种类，默认为8且通常不予列出。
“掷”：指用于投掷的骰子数量，掷8即指投掷8个骰子。
“纯”：纯色骰子组指由同颜色的骰子组成的骰子组合，一串骰子中骰子数量最多的纯色骰子组的骰子数即为“纯”，例如“4个火3个水1个风”的“纯”值即为4。在未作说明时“纯”不限定纯色骰子组的数量，需要描述存在2组3纯色骰子组则可以表达为“纯3*2”。
“靶”：指作为标靶的元素，即角色神之眼所对应的元素，未作说明时靶向元素默认包含万能元素，且未作特别说明时靶向元素不被计入纯色骰子计算中。在概率计算上靶向元素的具体内容（即是火或水）通常没有意义，有意义的是靶向元素的数量，因此在描述时模糊靶向元素的内容而突出其数量。
“中靶”：指投掷后获得的靶向骰子（即颜色为靶向元素的骰子）的数量。如果需要描述特定靶向元素中靶数量，则可以表达为“中靶A2BC1”，即A元素中靶2个，B与C元素共计中靶1个（该表达主要用于突出在“靶”值中被模糊的部分，例如在中靶6中强调2色各3骰）。
课后作业：用白话翻译一下“色7掷6靶3纯2中靶1”以及“掷8靶3纯2*2中靶A2B1C1（纯色计算不排除靶向元素）”。
（二）为方便表述而生造的相关概念
“首掷”：指第一次投掷骰子。
“重掷”：指第二次投掷骰子。
“荧元素”或“荧”：指万能元素。
“可用元素”：一定意义上等同于靶向元素，是红衣在《元素骰子概率简述》中使用的概念，由于“可用”一词易生歧义故决定不再使用，但可能顺手就打了这个。
“可用骰”：颜色为可用元素的骰子。
二、解决七圣召唤概率问题的通用方法
（一）关键概念指标化
在讨论七圣召唤相关概率问题时我们倾向于使用口语化的简短表达，因此这些表达很少会主动解释问题中的关键概念，但这些关键概念又往往是多个事件的集合或者需要多层次的解读。因此，在讨论问题之前，我们需要先将问题中的关键概念转化为可以用概率衡量的指标，这既有利于理清思路也方便于与人交流。
[例]：“在不撕卡的情况下骰子一般支持怎样的攻击节奏？”中的“攻击节奏”包含“最多支持单角色普攻1次”以及“最多支持2不同元素角色各战技1次”等事件；“护法之誓的强度如何？”中的“强度”需要从成本与即时性等维度进行考量。
进攻节奏问题中进攻节奏的指标为获得特定骰子颜色组合的概率；魈卡强度问题中强度的指标为特定情景下获得4纯色骰子的概率（各情景的具体概率将反映魈卡的即时性，各情景在概率上的差异将反映魈卡的成本）。
（二）指标事件的拆解与组合
关键概念往往具有相当丰富的内涵，需要相当冗长的表达才能清晰准确的描述其指标，但一个超百字的指标名称是显然不适宜的。为此我们在使用简练语句指称总指标之余，还需要视其内涵的复杂程度将总指标拆分为子指标，必要时我们还会对子指标进行二次拆解。在被拆解出的子指标中往往包含一些不重要内容，视讨论需要可以予以排除，但骰子组合往往具有向下兼容的特点，因此在拆解、排除与重组时需要格外注意。此外，拆解子指标时视讨论所追求的精度以及指标事件本身的特性，可以使用一些可能引起细微误差但能够有效降低问题复杂程度的拆解方法，在理想情况下，使用这类粗放方法获得的数据应当是能够在二次加工后被处理成精准数据的。
[例]：进攻节奏问题的指标被设定为特定骰子组合的概率，该指标可以被严格地划分为8个子指标对应8个事件：“两次投掷中靶且仅中靶1个A或B骰子”（指单角色普攻1次）、“靶2中靶2”（指单元素角色普攻2次）、“靶2中靶3”（单角色战技1次）、“靶2中靶4”（单元素角色普攻、战技各一次）、“靶2中靶6”（单元素角色战技两次）；“靶3中靶AB1AC1”（不同元素角色各普攻1次，大部分场景下缺乏意义可视情况剔除）、“靶3中靶AB3AC1”（不同元素角色分别普攻1次战技1次）、“靶3中靶AB3AC3”（不同元素角色各战技1次）。由于骰子组合向下兼容的特点，在8个事件之余我们还需要进一步计算“靶2中靶5”（向下兼容“靶2中靶4”）、“靶3中靶AB4AC3”等事件的概率。因此我们可以选择将“特定骰子组合的概率”这一指标粗放地拆解为“靶3中靶1”、“靶3中靶2”、“靶3中靶3、4、5、6、7、8”，这将极大地减轻我们计算的工作量，同时在“靶3中靶2”的基础上计算“色3掷2靶1中靶2”（2荧纯色组）、“色3掷2靶2中靶A2”（2非荧纯色组）、“色3掷2靶2中靶A1B1”（异色骰子组）等事件的概率我们还能进一步得到精确数据。
（三）骰子事件的公式化表达（掷、纯、靶、中靶）与概率计算
一般来说，能够直接使用简单计算得出概率的骰子事件多为单次投掷的结果且可以被表述为简单命题，但这些事件大多过于特殊因而缺乏参考意义，重掷决策与重掷结果是我们在解决实际骰子问题时需要着重讨论的，并且这些问题所讨论的投掷结果往往是参差。我们的实际概率计算最终无法回避重掷，且必须落实到单次投掷所得骰子组合。两次投掷的计算难以取巧，只能按部就班地将其分步处理，将重掷得特定骰子组合的概率视作多个由单次投掷结果构成的交集事件概率的或集。而在红衣看来我们所讨论的一切单次投掷结果无论再如何参差，都可以被视作纯色骰子组或靶向骰子组又或二者的组合。因此“纯”与“中靶”就足以描述绝大多数骰子组合，在实际运算中我们以“掷”来讨论重掷，以“靶”区隔、组合靶向组与纯色组，而“色”则可以对已有数据进行再加工。这就是除精简语句之外红衣希望使用公式化的表达来描述骰子事件的另一重要原因，至于“掷、靶”等概念在计算工具中的具体意义还请参考本篇第三章的内容。
[例]：“重掷后得3个靶向元素骰（靶3）”可视作“第一次掷骰得0个靶向元素骰且第二次掷骰得3个靶向元素骰”（“掷8靶3中靶0”且“掷8靶3中靶3”）与“第一次掷骰得1个靶向元素骰且第二次掷骰得2个靶向元素骰”（“掷8靶3中靶1”且“掷7靶3中靶2”）与“第一次掷骰得2个靶向元素骰且第二次掷骰得1个靶向元素骰”（“掷8靶3中靶2”且“掷6靶3中靶1”）与“第一次掷骰得3个靶向元素骰且第二次掷骰得0个靶向元素骰”（“掷8靶3中靶3”且“掷5靶3中靶0”）的或集。
课后作业：依上例格式拆解事件“重掷后得1个靶向元素骰及2*1纯色组（靶3）”。
三、概率公式与概率乘区
骰子概率计算的方法是不唯一的，在解决同一问题时采取不同思路可能得出两组完全不同的数据，在两者均正确的情况下仍需要二次加工才能确定其一致性。而即使采取相同思路，仍有可能在未化简的情况下得出两组不同算式。因此红衣将着重讲解的概率计算公式并非唯一方法也非特定问题的最优方法，而是一种相对通用且被证明可行的方法。
先讲思路（大致沿沿袭了红衣先前的《元素骰子概率简述》中的思路，但有所补充，不建议跳过）。对于专注于靶向元素骰的事件，例如“掷8靶3中靶3”，各骰子中靶与脱靶的概率是明确且均等的，也就是说将8个骰子按字母顺序编号，骰A中靶的概率与靶F是一致的，因此骰ABC中靶与骰EFG中靶的概率也是一致的，即任意3个骰子中靶的概率是相同的，即通过计算特定3个骰子中靶的概率及3个骰子在“掷8”中的位置排列情况就可以得出“中靶3”概率。当“中靶”=n时同理。由此我们为骰子概率计算引入了2个基础概念：特定个案乘区与位置排列乘区。而纯色元素事件则相对更加复杂，因为“掷n纯m，m/n>=2)、”类事件直接使用上文个案统合的方法时一定会遇到重复计入的问题，为避免重复计入等意外的出现我们需要对个案进行一定程度上的修正（重复计入的具体原因及修正方法将在后续篇章中与“修正区”一同展开，此处不过多赘述），由此我们引入一个新的乘区：个案修正乘区。此外，在中靶问题中如果不另外说明则骰子可以随意混色，但纯色问题中骰子无法混色或只能与荧混色，故而在“纯n*m，m>1”需要额外关注m种纯色的组合，由此引出了一个被忽视的乘区：颜色组合乘区。
[例]：“掷8靶3中靶3”的概率计算式为(3/8)^3*((8-5)/8)^(8-3)*COMBIN(8,3)（排列组合的符号表达不便，因此采取EXCEL的表达方法，COMBIN(n,m)即为n!/(m!*(n-m)!)），其乘区结构为
特例乘区，(3/8)^3*((8-5)/8)^(8-3)。
位置乘区，COMBIN(8,3)。
“掷7纯3靶3”的概率计算式为(1/8)^6*6/8*COMBIN(8-3,2)*COMBIN(7,3)*COMBIN(4,3)+(1/8)^3*(7/8)^4*(1-(1/7)^3*6/7*4*COMBIN(4,3)-(1/7)^4*4)*(8-3)*COMBIN(7,3)，其中(1/8)^6*6/8*COMBIN(8-3,2)*COMBIN(7,3)*COMBIN(4,3)为“掷7纯3*2靶3”的概率；(1/8)^3*(7/8)^4*(1-(1/7)^3*6/7*4*COMBIN(4,3)-(1/7)^4*4)*(8-3)*COMBIN(7,3)为“掷7纯3*1靶3”的概率，其乘区结构为
特定个案乘区，(1/8)^3*(7/8)^4。
个案修正乘区，(1-(1/7)^3*6/7*4*COMBIN(4,3)-(1/7)^4*4)。
颜色组合乘区，(8-3)即COMBIN(8-3,1)。
位置排列乘区，COMBIN(7,3)。
然后讲方法。该思路衍生出的具体方法并不十分简明，要完整且清晰地讲好标靶与纯色问题则红衣不仅要简单说明常见的特例概率计算、位置与颜色排列组合的方法还需要展开解说位置排列与颜色组合的原则、特例乘区与修正乘区的互动、常见的修正方法等内容，但这样的工作量是巨大的。因此本文将仅以“掷8靶3中靶4”为例，讲解常见且基础的特例乘区与位置乘区的应用，如果你已经读过并理解了红衣先前写的《元素骰子概率简述》则可以跳过这部分内容，如果你希望提前了解其它乘区的应用则可以参考上文罗列的乘区构成以及下文将展示的算式与工具。
“掷8靶3中靶4”：将骰子以字母顺序编号得骰ABCDEFGH，其中骰ABCD中靶，则单个骰子中靶的概率为3/8，靶向骰即骰ABCD的数量为4；单个单个骰子不中靶的概率为(8-3)/8，除靶向骰ABCD外的骰子数量为(8-4)。得骰ABCD中靶的概率即特定个案乘区为(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)。同理骰ABCE中靶的概率为(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)，换而言之任意4骰中靶的概率均为(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)。类似“骰ABCD中靶”的事件数量等同于从骰ABCDEFGH中任取4骰所得的组合数量，则位置排列乘区为COMBIN(8,4)。则事件“有且仅有4骰中靶”的概率为COMBIN(8,4)个类“骰ABCD中靶”事件的概率之和，得“掷8靶3中靶4”的概率为(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)*COMBIN(8,4)。
（好僵硬的讲解啊...如果有不清楚的地方可以评论提出，如果有关于改进讲解方法的建议还望不吝赐教）
课后作业：试求“掷8靶2中靶3”的概率计算式。
四、算式与工具展示及后续规划
（一）废话（红衣的碎碎念，可跳过）
本篇写于弃坑“魈卡强度讨论”之后，最早我只想试一试计算纯色问题，但几经波折之后我选择了半摆烂。所幸有一位米游社的朋友Iwould，在我摆烂的时候用实际行动给了我两巴掌，虽然后来我还是回归了半摆烂，但至少当时我至少被扇出了半刻清明。唔，还是直接抄一下我写在“魈卡强度讨论”里数学工具简述一节的感谢语吧：“尽管作为一个文科出身的社科生，红衣的数学知识极度有限，甚至没能读懂他关于元素骰概率的讨论（所以说，隔板法到底是什么？），但他的讨论还是驱策我一定程度上结束了摆烂状态，并且他的高效率还促使红衣放弃了“找到一个简洁且普遍适用并具有明确数学意义还不用修正的特例概率公式”的狂妄念头，由此红衣才能脚踏实地地完成概率计算（所以说社科人为什么要放弃一个问题一个理论、解释得通就算糊弄成功的光荣传统，转而寻求普适方法啊）。”完成计算工具的推导之后我打算用魈卡来证道，但魈卡的讨论涉及重掷决策与特定策略下的出牌概率以及资源交换的即时性与收益，越写越发现工作量爆炸也就越压抑，最后就道心崩溃摆烂弃坑了。但我又不能半点成果都没有吧，弃坑了魈卡讨论这个实际应用那转投算法讲解怎么样？想了想又摆烂了，这部分内容工作量依旧不小，实在不是我能一篇讲清楚的。嘛，所以说为什么最后还是写了呢？因为怕自己又闭门造轮了，搜了下骰子概率相关内容，发现过了一个版本但我的《骰子概率简述》还是挺能打的，而且貌似大家更喜欢用程序暴力模拟来代替计算。重铸EXCEL计算荣光，我辈义不容辞（红衣也就这点技术力和出息了），一篇写不下咱写一系列嘛。
（二）算式及工具展示
此部分内容主要用于为希望进一步了解骰子概率计算的牌手提供一个参考，因为工具是针对标靶问题和纯色问题开发的，所以就算对计算过程不感兴趣也能为你回答一些常见的骰子问题。
此外需要注意的是，工具中部分概念的表达和现在不同,请注意甄别。各表均有多页，前页为防止损坏上锁，后页为方便研究未上锁，想要研究工具中使用的算式还请记得翻页。
1.靶向问题工具：单元素加无元素骰子概率（链接参见评论区）
骰子概率计算表
代表算式，“掷8靶3中靶4”(3/8)^4*((8-3)/8)^(8-4)*COMBIN(8,4)。
2.纯色问题工具：概率值表（该工具包含算法正确性的验证，演算方法为，特定“掷”下各“纯”概率与无纯色概率的和为1）
代表算式，“掷7纯3靶3”(1/8)^6*6/8*COMBIN(8-3,2)*COMBIN(7,3)*COMBIN(4,3)+(1/8)^3*(7/8)^4*(1-(1/7)^3*6/7*4*COMBIN(4,3)-(1/7)^4*4)*(8-3)*COMBIN(7,3)。
3.“掷7纯2*2靶3中靶A1B1”概率计算式：1/8*1/8*(1/8)^2*(1/8)^2*3/8*COMBIN(5,2)*COMBIN(7,1)*COMBIN(6,1)*COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)
（三）后续规划
没啥规划，下一篇一定会讲的是如何在计算“掷8靶3中靶6”后进一步加工以获得“中靶A3B2C1”的概率，由此引出位置乘区的进阶应用，有可能会讲的是由此引出的纯色问题的计算细节，再有就还没想好。
不必担心说是我连下一篇讲什么都没想好，因为下一篇估计要拖挺久，我接下来得应付被推到学期初的期末了。只希望这个学期结束前能结束这系列，并再添一篇魈卡讨论吧。今天赶进度，写了好多，累了，犯困，先到这里。
最后的最后，照例感谢你能顶着我杂乱且枯燥的文字读到这里，不胜荣幸。
