《几何原本》命题2.6【夸克欧氏几何】

命题2.6：

如果平分一条线段，并在尾端加上一条线段，那么总线段与增加线段所构成的矩形与原线段一半上的正方形之和，等于原线段一半加上增加线段上的正方形

已知：线段AB，点C为AB中点，延长AB至点D

求证：S矩形AD×BD+S正方形BC2=S正方形CD2

解：

在CD上作正方形CD×CE

（命题1.46）

连接DE

（公设1.1）

过点B作BG∥CE或DF，与DE交点记为点H

（命题1.31）

过点H作KM∥AB或EF

（命题1.31）

过点作AK∥CL或DM，与KM交点记为点K

（命题1.31）

证：

∵AC=BC，KM∥AB

（已知）

∴S矩形AC×CL=S矩形BC×CL

（命题1.36）

∵S矩形BC×CL=S矩形HM×HG

（命题1.43）

∴S矩形AC×CL=S矩形HM×HG

（公理1.1）

∴S矩形AD×BD=S磬折形NOP

（公理1.2)

∵矩形BC×CL中，BC=LH

（命题1.34)

∴S正方形CL2=S正方形BC2

（公理1.1）

∴S矩形AD×BD+S正方形BC2=S磬折形NOP+S正方形CL2

（公理1.2）

∵S磬折形NOP+S正方形CL2=S正方形CD2

（已知）

∴S矩形AD×BD+S正方形BC2=S正方形CD2

（公理1.1）

证毕

此命题将在命题2.11中被使用