2023新高考1卷数学真题及答案参考

一、选择题（每小题5分共40分）

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2}，N={x|x²-x-6≥0}，则M∩N=

A {-2,-1,0}    B.{0,1,2}    C{-2}    D{2}

解析：x²-x-6≥0得(x-3)(x+2)≥0,x≥3或x≤-2

选择C

2.已知，则=

A -i    B i    C 0   D 1

解析：与共轭的差应该是虚数，排除CD

z=(1-i) (2-2i)/8=-2i/4

选择A

3.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，若(a+λb)⊥(a+μb)，则

A λ+μ=1    B λ+μ=-1    C λμ=1    D λμ=-1

解析: (a+λb) (a+μb)=0，a²+(λ+μ) ab+λμb²=0

2+2λμ=0

选择D

4.设函数在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是

A (-∞,-2]    B [-2,0)    C (0,2]    D [2,∞)

解析：2的指数次幂是单调增的，如果f单调减，那么x(x-a)在(0,1)上单调减

选择D

5.设椭圆C1：x²/a²+y²=1 (a>1)，C2：0.25x²+y²=1的离心率分别为e1,e2，若e2=(√3)e1，则a=

A 2√3/3    B √2    C √3    D √6

解析：e1²=(a²-1)/a²，e2²=3/4，3/4=3(a²-1)/a²

选择A

6.过点(0,-2)与圆x²+y²-4x-1=0相切的两条直线夹角为α，则sin α=

A 1    B 0.25√15    C 0.25√10    D 0.25√6

解析：化简可知圆心坐标是(2,0)，半径是√5，算出点(0,-2)与圆心距离是2√2从而计算出夹角

选择B

7. 记Sn为{an}前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{Sn/n}为等差数列，则

A 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C 甲是乙的充要条件

D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析：若甲成立，那么Sn/n=n[a1+a1+(n-1)d]/2/n =a1+(n-1)d/2，它是等差数列

若乙成立，那么Sn/n=a+nd，Sn=na+n²d，an=a+d(2n-1)，甲成立

选择C

8.已知sin(α-β)=1/3，cosαsinβ=1/6，则cos(2α+2β)=

A 7/9    B 1/9    C -1/9    D -7/9

解析：sinαcosβ-cosαsinβ=1/3

sinαcosβ+cosαsinβ=2/3

sin(α+β)=2/3

cos(2α+2β)=1-2sin²(α+β)=1/9

选择B

二、多选题（每小题5分，共20分，全都选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）

9有一组样本数据x1,x2，…x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则

A x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2，…x6的平均数

B x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2，…x6的中位数

C x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2，…x6的标准差

D x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2，…x6的极差

解析： x6是最大值，不一定能和平均数相等A错，中位数是中间两个数的平均数B正确，排除两个数，标准差可能小，C错，少个两个极端的数，因此极差小，D正确

选择BD

10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg(p/p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同声源的声压级：

声源 |与声源的距离/m|声压级/dB

燃油汽车    | 10 |60~90

混合动力汽车| 10 |50~60

电动汽车    | 10 |40

已知在距离燃油汽车，混合动力汽车, 电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则

A p1≥p2  B p2>10p3  C p3=100p0  D p1≤100p2

解析：声压级(/dB)=20×lg(p1,2,3/p0)，对数函数是单调增的 ，因此ACD正确

 选择ACD

11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y²f(x)+x²f(y)，则

解析：令x=0可知A正确，令x=y=1知B正确

f(-1×x)=f(x)+x²f(-1)

f(-x)=f(x)+x²f(-1)

f[-1×(-1)]=2f(-1)=f(1)=0，C正确

选择ABC

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器（容器厚度忽略不计）内的有

A直径为0.99m的球体

B所有棱长均为1.4m的四面体

C 底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体

D 底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

解析：A正确，B每个正三角形的高是0.7√3，斜着放大角度倾斜小于30°可以放入，C选项1.8m超过体对角线，放不进去，D可以放入

选择ABD

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需要丛这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案有____种（用数字作答）

解析：选择两门的情况有4×4=16种，选择3门的情况是6×4×2=48种

填64

14.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=√2，则该棱台的体积为____

解析：先求棱台的高，0.5√[(2√2)²-2]= √6/2，然后用棱台体积公式计算

V=h[S1+S2+√(S1S2)]/3=(√6/2) (5+√4)/3

填7√6/6

15已知函数f(x)=cosωx -1 (ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是____

解析：将横坐标压缩ω再向下平移一个单位得到f(x)，若有3个零点，那么，2π大于等于两个周期且小于3个周期，即4π/ω≤2π，6π/ω>2π

填[2,3)

16.已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=-2 F2B /3，则C的离心率为____

解析：设|F2B|=r根据题意及双曲线的定义可得

|AF1|=4r/3,|AF2|=2r/3,2a=2r/3，r=3a

设A的坐标为(-c+4acosX,-4asinX) ，这里X为F1A与x轴的夹角

sinX=c/(3a)

4asinX=2|OB|/3

4ac/(3a)=2√(9a²-c²)/3

4c=2√(9a²-c²)

16c²=36a²-4c²

c²/a²=9/5

e=c/a=3√5/5

填 3√5/5

 

四、解答题（70分）

17.（10分）△ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB

(1)求sinA

(2)设 AB=5，求AB边上的高

解析：(1)A+B+C=π

4C=π，C=π/4

A+B=3π/4

A-C=π/2-B

2sin(π/2-B)=sinB

2cosB=sinB

tanB=2

A=3π/4-arctan 2

sinA=sin (3π/4-arctan 2)=1/√2*1/√5+1/√2*2/√5=(1+2)/√10=3√10/10

(2)如图作BC边上的高AH=2√5

三角形的面积

S=[5cos(arctan 2)+5sin(arctan 2)]√5=15

AB边上的高为2S/AB=6

18. （12分）如图，正四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，AB=2，AA1=4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3

(1)证明 B2C2∥A2D2

(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P

解析：

(1)根据数量关系可得∠A2D2D=∠B2C2C，过点A2，B2作DD1和CC1的垂线交DD1和CC1于点E,F可得△D2A2E∽△C2B2F，又DD1∥CC1得A2E平行B2F，所以B2C2∥A2D2

(2)建立坐标系，如下图坐标原点O为四边形A2B2C2D2的中心

设B2P=h,过P作PQ⊥A2C2于Q，设Q的坐标是(a,b,c)，那么点P的坐标是(-1,1,h)

19.（12分）已知函数

(1) 讨论f的单调性

(2) 证明：当a>0时，f(x)>2ln a +1.5

解析：(1)

当a>0时，导函数单调增，且大于-1，因此存在一点(x0,y0)，使f’=0

此时x=ln(1/a)=-lna，f先减后增，最小值为1+a²+ln a

即当x<-ln a时f(x)单调减，当x≥-ln a时f(x)单调增

当a=0时f‘<0，f(x)单调减

当a<0时，导函数单调减，且小于-1，f(x)单调减

(2)由(1)知，当a>0时fmin=f(-lna)=1+a²+ln a

设g(x)= x²-ln x

g’=2x -1/x=(2x²-1)/x

当1/√2>x>0时，g’<0

当1/√2<x时，g’>0

x>0时gmin=g(1/√2)= 0.5+0.5ln2

所以a²-ln a≥0.5+0.5ln2>0.5

1+ a²-ln a>1.5

1+ a²+2ln a>ln a+1.5

所以f(x)≥1+a²+ln a>ln a+1.5

 

20.（12分）已知数列{an}，公差d>1，bn=(n²+n)/an，设an前n项和Sn，bn前n项和为Tn

(1)若3a2=3a1+a3，T3+S3=21，求an

(2)若{bn}为等差数列，S99-T99=99，求d

解析：(1)3a2=3a1+a3

3a2=3a2-3d+a2+d

a2=2d

所以an=nd

bn=(n+1)/d

S3=6d，T3=9/d

6d+9/d=21，d>1

(2d-1)(d-3)=0

d=3，an=3n

(2)若{bn}为等差数列设公差为t，那么

bn=(n²+n)/[a1+(n-1)d]=b1+(n-1)t

那么a1+(n-1)d是(n²+n)的因式，而(n²+n)的因式有n、(n+1)

所以a1+(n-1)d=p*n或a1+(n-1)d=q*(n+1)，其中p,q是常数

因此a1=d或a1=2d

an=nd或an=(n+1)d

当an=nd时，bn=(n+1)/d

Sn=(n+1)nd/2，Tn=(n+3)n/2/d

4950d-5049/d=99

550d²-11d-561=0

50d²-d-51=0

(50d-51)(d+1)=0

d=51/50或-1(舍)

当an=(n+1)d时，bn=n/d

Sn=(n+3)nd/2，Tn=(n+1)n/2/d

5049d-4950/d=99

51d²-d-50=0

(51d+50)(d-1)=0，同理根都不大于1，皆舍去

所以d=51/50

 

21.(12分)甲乙两人投篮，每次由其中一人投，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮，无论之前情况如何，甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.8，抽签决定由谁来先投篮，第一次投篮的人是假，乙的概率概率各为0.5

(1)求第2次为乙投篮的概率

(2)求第i次甲投篮的概率

解析：(1)第2次为乙投篮，那么可能是第一次是乙且投中，概率为0.5×0.8=0.4，或者第一次是甲但未命中，此时概率为0.5×0.4=0.2，两次是互斥事件，因此第2次为乙投篮的概率为0.6

(2)第i次为甲投篮的事件为ai，那么由(1)可得

22（12分）点P到x轴的距离与到点(0,0.5)的距离相等，记P的轨迹为w

(1) w的方程

(2)若矩形ABCD上有三个顶点在w上，证明矩形ABCD周长大于3√3

解析：(1)根据题意w的轨迹是抛物线，因此w方程为

y=x²+0.25

(2)如果矩形有3个顶点在抛物线上，必然有顶点连接两条边，不妨设这点为P1(x1,y1)，并设与其相邻的点为P0(x0,y0)，P2，P0P1与x轴正方向的夹角为A（90°>A>0），根据题意，直线P0P1的参数方程为

代入曲线w，得

所得t就是矩形一条边的长度，不妨设t>0，则

根据参数方程可得x1的坐标为

同理将P1P2的参数方程（就是将P0P1参数方程中的“sin”换成“-cos”，“cos”换成“sin”）代入w可得

设两条相邻边的和为l，那么l的值为

这里

由于对称关系，不妨令此时sinA-cosA>0，前面证明出2x0< -tan A，那么有

根据分母大于0，对于A讨论分母的单调性

当时取最大值，此时sinA-cosA>0，分母可以取到最大值，那么

因此矩形ABCD周长2l大于3√3