【俗说矩阵】矩阵中一个重要的不等式，你会证明吗？

思路（A≠0，B≠0场景）

①后乘矩阵列分块

AB＝0 即可化为 Aβi＝0①

其中βi是矩阵B列向量。

②转换至方程组求解

因为B≠0，βi必不可能全部要素为0。故①式可理解为AX=0存在非零解（βi替换X作为方程解，也说明了“βi是解”这一性质）。故由方程组定义，存在S（S＝n-r(A)）个线性无关的解向量ci（i为1到s的整数），构成AX=0的基础解系。

③βi解的性质应用（即转换矩阵B的秩，找关系）

因为βi是方程组AX＝0的解，其必可以被基础解系线性表出。（基础解系的定义）

故存在一组不全为0的常数k，使得下式成立：

βi=k1i×c1+k2i×c2+...+ksi×cs（c是向量，k是常数）进而可以拆分成两个矩阵

βi＝（c1,c2,...,cs）×（k1i,...,ksi）T。（其中ci是列向量，前边一个括号内是一个n×s大矩阵，ki是每项前的系数项，这里后边打转置指这个是个s×1的列向量，这个列向量记作Ki）

进而B可表示为

B=C×K，C即（c1,...,cs），K即（K1,...,Kn）

对于B是n*t阶矩阵的场景，C即为n*s阶，K为s*t阶。

故r（B）≤min{r（C）,r（K）}

而r（C）≤min{n,s}，r（K）同理

故r（B）≤min{n,s}

且，s＝n-r（A），A≠0即A的秩必不为0，故s＜n

→r（B）≤s＝n-r（A）

得证 r（A）+r（B）≤n，n为A的列数

注1：该结论实际不要求方块阵，也不要求A或B≠0，对以上场景恒成立

注2：根据该结论也可推知，r（A）=n-1时，r（A*）=1，即A伴随的秩为1