浅谈高等数学（6）

2022-02-08 13:19 作者:-YD-LM- 0人读过 | 我要投稿

（Tips：给各位推荐一本特别有价值的书《高观点下的初等数学》（分三册），由群论大佬菲利克斯·克莱因编著；本期封面来源于@混数魔王----雨殇）

书中，对于连续有一段说明，称为“连续性的柯西定义”，现将其带给读者：

一个函数 $y%3Df(x)$ 在点 $x_0$ 连续的条件有二：首先，它在这点唯一地确定；第二，对于无论多小的正数 $%5Ceta$ ，总有一个具有如下性质的正数 $%5Cxi%20$ ：在每一个含 $x_0$ 在内的节（也就是闭区间）里的 $x$ ， $x'$ ，只要 $%5Cvert%20x-x'%20%5Cvert%3C%5Cxi$ ，就有 $%7Cf(x)-f(x')%7C%3C%5Ceta$ 。结合极限定义，我们发现这个定义和现今定义是等价的。

此后文章中如有涉及左右连续、左右导数的概念，读者可自行类比左右极限的定义，在此不多赘述了。

第六期连续、可导与间断（2）

我们继续考虑函数在某点 $x_0$ 处不可导的情况，也就是 $%5Cfrac%7Bf(x_0%2B%5Cmathrm%20dx)-f(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$ 这个式子的值不存在的情况。

（1） $f(x_0)$ 或 $f(x_0%2B%5Cmathrm%20dx)$ 无意义，也就是函数在以 $x_0$ 为中心的任何一个邻域内都不全有定义。从几何意义上来说，如果函数在 $x_0$ 处无定义，或只有孤零零的 $x_0$ 处一个点，那自然没有切线了。此时函数显然是不连续的。

（2） $f(x_0)$ 和 $f(x_0%2B%5Cmathrm%20dx)$ 均有意义，但 $f(x_0%2B%5Cmathrm%20dx)-f(x)$ 不为0，也就是函数在 $x_0$ 处出现了函数值的瞬间跳跃。从几何意义上来说，函数在 $x_0$ 处的切线只能是联结 $(x_0%2Cf(x_0))$ 和 $(x_0%2B%5Cmathrm%20dx%2Cf(x_0%2B%5Cmathrm%20dx))$ 两点，得到一条垂直于 $x$ 轴的直线，斜率为无穷大。此时函数显然是不连续的。

（3） $f(x_0%2B%5Cmathrm%20dx)-f(x)$ 为0，但左右导数不相等。从几何意义上来说，就是得到的切线不唯一。例如 $y%3D%7Cx%7C$ 在0处的切线既可以是 $y%3Dx$ 也可以是 $y%3D-x$ 。

（4） $f(x_0%2B%5Cmathrm%20dx)-f(x)$ 为0，但 $%5Cmathrm%20dy$ 是比 $%5Cmathrm%20dx$ 低阶的无穷小。这便是我们在上期中举的例子 $y%3D%5Csqrt%5B3%5Dx$ 的情况，其在0处具有垂直于x轴的切线。代数上说，当 $x%3D0$ 时， $%5Cmathrm%20dy%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$ ，显然比 $%5Cmathrm%20dx$ 低阶。

从上述（4）种情况来看，函数连续而不可导，等价于出现了（3）（4）两种情况。

下面是两个显然而重要的定理，其对此后三大微分中值定理（罗尔，拉格朗日，柯西）打下了重要基础：

定理1（有界性与最值存在性定理）在闭区间上连续（即在左端点右连续，在右端点左连续）的函数在该区间上有界，且能取到在界内的最值。

定理2（介值定理）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $%5B%5C%2Ca%2Cb%5C%2C%5D$ 上连续，且 $f(a)%5Cnot%3Df(b)$ ，则对于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意一个数 $C$ ， $%5Cexists%5C%2C%5Cxi%5Cin(a%2Cb)$ ，使得 $f(%5Cxi)%3DC$ 。

定理1这里不予证明，也很好理解。定理2从几何意义上来讲，就是在闭区间内连续的函数一定能经过在端点函数值之间的一切函数值。我们不妨对其进行证明。在《高观点下的初等数学》中，作者使用了“十进制证明”，下述证明是改写过的。另外，这里的连续还应加一条件：该区间能分成有限个单调区间。那么，我们只需证明单调区间 $%5Ba%2Cb%5D$ 内的情况即可。

我们先令 $C%3D0$ ，即得零点定理。再不妨假设 $f(a)%3E0%2Cf(b)%3C0$ 。将闭区间 $%5Ba%2Cb%5D$ 进行二等分（利用二分法，事实上等分数是没有限制的），其中必有一个闭区间 $%5Bx%2Cx'%5D$ 满足 $f(x)%5Cgeq0%2Cf(x')%5Cle0$ 。若二者中能有一个取等，则命题立刻得证；我们假设都不能取等。那么闭区间 $%5Bx%2Cx'%5D$ 又可以二等分，使得其中必有一个闭区间 $%5Bx''%2Cx'''%5D$ 满足 $f(x'')%5Cge0%2Cf(x''')%5Cle0$ 。我们仍假设都不能取等，再对其二等分。……这样的过程可以无限进行下去。

我们最终可以得到一个无限小的闭区间 $%5B%5Cxi%2C%5Cxi%2B%5Cmathrm%20dx%5D$ （ $%5Cmathrm%20dx%3E0$ ）。其中 $f(%5Cxi)%5Cge0%2Cf(%5Cxi%2B%5Cmathrm%20dx)%5Cle0$ 。又因为函数连续，故 $f(%5Cxi%2B%5Cmathrm%20dx)-f(%5Cxi)%3D0$ 。非负数和非正数相等，只可能它们都等于0，即 $f(%5Cxi)%3D0$ 。 $f(a)%3C0%2Cf(b)%3E0$ 是同理的。那么零点定理就完全得证了。