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求S=⁸√((x⁴y⁴)/((x²+y²)²+4x²y²+4x³y+4xy³))

2023-03-06 09:44 作者:虚拟子弹数学课堂  | 我要投稿

题一、
已知x=2/(2+√3−√5),y=2/(2+√3+√5),
求S=⁸√((x⁴y⁴)/((x²+y²)²+4x²y²+4x³y+4xy³))


分析题目
解:(x+y)⁴=x⁴+y⁴+6x²y²+4x³y+4xy³

分析题目,所求代数式看起来相当复杂,但其实熟悉和的四次方展开式的同学,会很快发现根式下的分母刚好就是一个和的四次方展开式,合成后不就完美破题了,

据此我们来解题,首先考察二元和的四次方展开式,即有,

(x+y)⁴先展开一个二次项即得到

(x+y)⁴=(x²+2xy+y²)²,

继续展开平方后得到,

(x+y)⁴=x⁴+y⁴+6x²y²+4x³y+4xy³,

此时我们化简下所求的代数式,看下需要求解哪些代数式,即有,

S展开分母的平方和的完全平方,即得到,

S=⁸√((x⁴y⁴)/(x⁴+y⁴+6x²y²+4x³y+4xy³)),

刚好分母就是我们展开后的和的四次方,那我们等价替换回去,即得到,

S=⁸√(x⁴y⁴/(x+y)⁴),

那显然四次方和八次根号抵消掉四次,剩下一个二次根式,即得到

S=√|xy/(x+y)| ,也就是我们只需要求解xy/(x+y)的值即可,那我们倒转分子分母看下,即得到,

(x+y)/(xy),拆分分子后得到,

(x+y)/(xy)=1/x+1/y,

此时我们代入已知条件的X和Y的值,即得到,

(x+y)/(xy)=(2+√3−√5)/2+(2+√3+√5)/2,

同分母相加,分子相加即可,最后算得

(x+y)/(xy)=2+√3 ,

则所求的,

S=1/√(2+√3),分母有理化后得到,S=√(2−√3),为了凑完全平方,需要给交叉项√3补一个系数2,即得到,S=√(4−2√3)/2,很容易拆分4为3+1,从而凑出完全平方式,则分子分母都开方出来,即得到

S=(√3−1)/√2,

最后分母有理化后得到,

S=(√6−√2)/2。

参考答案


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