《虚数不虚》第六节：魔法画板

上一集，我们介绍了数字的二维属性，并由此引出了复数的概念。正如我们需要用在X，Y坐标表示平面任意一点，复数的二维属性（实部+虚部）决定了我们需要用一个平面来表示任意一个复数。这个平面我们称作“复平面”，它是数轴由线到面的延拓。

同样是二维平面，复平面与普通平面的最大不同在于前者规定了加法、乘法运算，而后者没有。这使得复平面不仅是一块白板，这是一块魔法画板。

现在，让我们来探究它的魔法。

首先，我们探究加法：实部与实部相加，虚部与虚部相加，这种规则可以用在运动的合成上。简单地说，如果我们朝一个方向上行驶一段路程，再朝另一个方向上行驶一段路程，以此类推。我们可以把每段用一个复数表示，把它们相加，便能得到等价的运动方向与路程，这就是运动的合成。

别走开，精彩的还在后面。

其次，我们探究乘法：把每一项展开相乘，把实部和虚部的系数相加得到结果。

但是，还有另一种等价的表述更加直观地揭示复数乘法的规则。与其直接把结论告诉你，我更希望你通过拓展阅读里的题目来自主探究，你只需知道：

加、减、乘、除

勾股定理、反正切函数

自己试试吧！不管你精通与否，通过研究这些问题，你会发现乘法更深刻的内涵！如果你自己得出了结论，你要为此而骄傲，就在两百年前，就连地球上最聪明的数学家也没有发现它！

拓展阅读

试试看！仿照上面的做法计算以下乘法，并把结果与被乘数以向量的形式画在复平面上。

计算每个复数的“模长”和“辐角”，并完成下表。

观察此表，你能发现什么规律？

两个复数相乘，其模长相乘，辐角相加。

这个结论很重要，我们在下节详细研究它！