很水的数学分析084：魏尔斯特拉斯函数

#练习生打卡

1.及时雨般的总结复习。在这mark一下，Ayumu说这些框架在幂级数和傅里叶级数还会用。

2.Weierstrass函数，千呼万唤始出来。

感觉构造处处连续但处处不可导的逻辑跟芝诺悖论有点像，只不过前者是二元，后者是一元。某一个有限区间（无论多小，只要长度是定值）有某些规律性质，拆成无穷份以后规律会被打破，如果混为一谈就会出现理解错误。

3.Waerdon构造的Weierstrass函数。

①处处连续

Weierstrass判别法证明。

②处处不可微

写一下我认为的In构造思路。

要证明导数不存在，用导数定义，只需证明相应极限不存在，再按评论所说，实际用了归结原理，因此只需证明收敛于c的某数列差商极限不存在。

然后把差商转为部分和，并分成两部分。

（ⅰ）一部分是n≥k。让fn(xk)=fn(c)就可以把这部分清零。要实现这个目标，只需让xk和c的距离恰好是最小正周期的整数倍，1/4^k即满足。从长度为1/2·4^(k-1)的区间In中必可选出与c距离1/4^k的点

（ⅱ）另一部分是n≤k-1。要让fn在In上斜率为±1，需要让fn在In上单调。

结合以上两点，就可以构造长度为1/2·4^(k-1)的单调区间In。

4.Weierstrass函数的其他性质

③任一区间不单调

Lebesgue定理保证

④不Lipschitz连续

定理1.48保证

Lebesgue定理说f在[a,b]单调则几乎处处可微，定理1.48说f在[a,b]Lipschitz连续则几乎处处可微。