《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师
矩阵运算
1.加减法：
同型矩阵对应元素相加减。
A+B=B+A
(A+B)+C= A+(B+C)
A+0=A （同型的0矩阵）
A+(-A)=0
A+B=C等价于A=C-B
2.数乘：
矩阵中所有元素乘以这个数。
提供公因子（角度）：
矩阵：所有元素的公因子，只提一次；
行列式：一行(列)元素的公因子提一次，
有几行(列)提几次。
k(A+B)=kA+kB
(k+h)A=kA+hA
k(hA)=(kh)A
3.乘法：
第一个矩阵的第i行与第二个矩阵的j列对应元素相乘后相加，为结果矩阵的第i行第j列的元素aij。
矩阵相乘前提：
第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
结果矩阵的形状：
结果矩阵的行数 = 第一个矩阵的行数；
结果矩阵的列数 = 第二个矩阵的列数.
宋氏七字诀：“中间相等 取两头”
A行X列B行X列=C行X列（A列=B行）
矩阵乘法不满足：
1)• AB=/=BA，AB有意义 BA不一定有意义
若AB=BA，称A,B可交换。(AB为同阶方阵)
2)• AB=0 =/=> A=0或B=0
3)• AB=BA，A=/=0 =/=> B=C
与零矩阵相乘：
0矩阵与任何矩阵乘法都等于0矩阵。
与单位矩阵相乘：
AE=A EB=B
乘法运算规律：
1)结合：(AB)C=A(BC)
2)分配：(A+B)C=AC+BC
C(A+B)=CA+CB
3)k(AB)=(kA)B=A(kB)
(注：ABC矩阵的左右顺序不能变)
4.幂：
（A是方阵）
A的k次方，即k个A矩阵相乘
A的0次方 = E(单位矩阵)
1）A的k1次方乘A的k2次方等于A的(k1+k2)次方。
2）A的k1次方的k2次方等于A的(k1k2)次方
(AB)的k次方只有在AB可交换的时候等于A的k次方加B的k次方。
(A+B)方 =/= A方+2AB+B方
(A+B)方 = (A+B)(A+B) = AA+BA+AB+BB
(E)单位矩阵：
(A+E)方 = (A+E)(A+E)
= AA+EA+AE+EE
= A方+2A+E
5.转置：( )T或( )'
行变列，列变行
- 1) ((A)T)T=A
2) (A+B)T=(A)T+(B)T
(A+B+C)T=(A)T+(B)T+(C)T
3) (kA)T=k(A)T
- 4) (AB)T=(B)T(A)T
(ABC)T=(C)T(B)T(A)T
特殊矩阵（方阵）
1.数量矩阵
主对角线相等(如：a)，其他都为0
= aE （E：单位矩阵）
数量矩阵 x 数量矩阵 = 数量矩阵
(aE)B = B(aE) = aB
单位矩阵E应为同阶矩阵
2.对角形矩阵
diag(a1,a2,…,an)
a1,a2,…,an 为主对角线，其它地方为0
3.三角形矩阵
上三角
下三角
4.对称矩阵 aij = aji
反对称矩阵 aij = -aji aii=0
(A)' = A（ ( )' 转置）
(A)' = -A
A，B为同阶对称矩阵
1）(A+B)'=A'+B'=A+B
2）(A-B)'=A'-B'=A-B
3）(kA)'=kA'=kA
4）(AB)'=B'A'=BA =/= AB
定理1：若A，B为同阶对称矩阵，
则 (AB)对称<=>A,B可交换
因：A，B对称;
所：(AB)' = B'A' = BA = AB.
因：A•B=B•A;
所：(AB)' = B'A' = BA = AB.
证明对称，即证明：(AB)' = AB.(置换后等于本身)
证明反对称，即证明：(AB)' = -(AB).(置换后等于其相反数)
两个同阶反对称矩阵的和差数乘仍然是反对称矩阵但两个反对称的乘积一般不是反对称
