【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep56】第三次结束习题&Ep54说法上的一点修正

我们今天结束最后一题遗留的部分，比上一次的部分要复杂一些——

35例题

6.迭代数列：x1=c/2，xn+1=c/2+xn^2/2，（c为实数）——

上次老碧说，这题要讨论清楚c的所有取值，其实不是，这道题只是讨论了两种比较特殊的情况：

上次我们谈论了，正项数列，即每一项均为正数的情况；

这次，我们继续讨论负项数列，即每一项均为负数的情况。

至于正负交替情形的严格证明，书上并未给出，情况比较复杂，我们也先直接略去，感兴趣的同学可以自己有空的时候想想怎么弄。

实际上一道题即使做不出来，思考的过程也会有很多收获，对一些知识的认知会更一步加深。

我们上次做过分析——

1. 显然c=0的时候这个数列是一个常数列xn=0，我们主要考虑c不为0的情况；

2. 作差：xn+1-xn=（c/2+xn^2/2）-（c/2+xn-1^2/2）=（xn^2-xn-1^2）/2；

3. 又x2-x1=（c/2+x1^2/2）-x1=（c/2+x1^2/2）-c/2=x1^2/2=（c/2）^2/2=c^2/8；

4. 我们做一步简单的运算：xn+1-xn=（xn^2-xn-1^2）/2=（xn+xn-1）（xn-xn-1）/2={（xn+xn-1）[（xn-1^2-xn-2^2）/2]}/2=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）（xn-1-xn-2）/4=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）（x2-x1）/2^（n-1）=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）（c^2/8）/2^（n-1）=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）c^2/2^（n+2）；

5. 另外：xj-xk=（c/2+xj-1^2/2）-（c/2+xk-1^2/2）=（xj-1^2-xk-1^2）/2；

6. ……

我们讨论过正项数列的概念，由4、5，我们可以继续讨论负项数列有极限时，c的范围——

a).-3<=c<0——这个范围可以从负项数列有极限这个条件中直接导出，我们按照正常思路梳理，书上的步骤会让人觉得有些困惑——

分析——分析步骤是草稿纸上的步骤，正常做题，选出来关键步骤即可——

1. 我们已知c<0，xn<0，则xn+1=c/2+xn^2/2>c/2；

2. 又因为要保证数列是负项数列，则x1=c/2<0，x2=c/2+x1^2/2=c/2+（c/2）^2/2=c/2+c^2/8<0，得到-4<c<0；

3. 所以可以初步判断，在-4<c<0的范围内，由xn+1-xn=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）c^2/2^（n+2）——

   在n为偶数时，即n=2k时（其中k=1，2,3，……）时，xn+1-xn=x2k+1-x2k=（x2k+x2k-1）（x2k-1+x2k-2）……（x2+x1）c^2/2^（n+2）<0，

   在n为奇数时，即n=2k-1时（其中k=1，2,3，……）时，xn+1-xn=x2k-x2k-1=（x2k-1+x2k-2）（x2k-2+x2k-3）……（x2+x1）c^2/2^（n+2）>0，

   所以，相邻两项按照，减增减增……的规律变化；

4. 类似情况下，就开始考虑，该数列偶数项构成的数列、该数列奇数项构成的数列各自的单调性，由xj-xk=（xj-1^2-xk-1^2）/2——

   该数列偶数项构成的数列，有x2k+2-x2k=（x2k+1^2-x2k-1^2）/2，

   该数列奇数项构成的数列，有x2k+1-x2k-1=（x2k^2-x2k-2^2）/2；

5. 由x3>c/2=x1，猜测x2k+1>x2k-1，进而推测x2k^2>x2k-2^2，因为x2k与x2k-2都小于0，则x2k<x2k-2，证明——

   a.做一个简单的变形：x2k+2-x2k=（x2k+1^2-x2k-1^2）/2=（x2k+1+x2k-1）（x2k+1-x2k-1）/2=（x2k+1+x2k-1）（x2k^2-x2k-2^2）/4=（x2k+1+x2k-1）（x2k+x2k-2）（x2k-x2k-2）/4；

   b.由此可知，x2k+2-x2k的符号与x2k-x2k-2的符号一致，即，x2k+2-x2k的符号与x4-x2符号一致，同理可知，x2k+1-x2k-1的符号与x3-x1符号一致，又x3>x1，即x3-x1>0，x2k+1-x2k-1>0；

   c.又因为x4-x2=（x3^2-x1^2）/2，即x4-x2的符号与x3^2-x1^2的符号一致，又0>x3>x1，则x3^2<x1^2，得到x4<x2，x4-x2<0，则x2k+2-x2k<0；

   d.由c，该数列偶数项构成的数列{x2k}为单调递减数列，由b，该数列奇数项构成的数列{x2k-1}为单调递增数列；

6. 由1、2知，在-4<c<0，数列{xn}为有界数列——取值范围[-c/2,0），由5知，该数列偶数项构成的数列{x2k}为单调递减数列，该数列奇数项构成的数列{x2k-1}为单调递增数列，它们分别有极限a'，a"，当这两个极限相等的时候，原数列{xn}收敛。

由上述分析以及迭代关系式，令k趋向于无穷大，即可得到关于a'与a"的方程组——

1. lim x2k=lim（c/2+x2k-1^2/2）=c/2+（lim x2k-1^2）/2，即a'=c/2+a"^2/2；

2. lim x2k-1=lim（c/2+x2k-2^2/2）=c/2+（lim x2k-2^2）/2，即a"=c/2+a'^2/2；

3. 消去c：由1，c=2a'-a"^2，代入2，a"=（2a'-a"^2）/2+a'^2/2，化简得到，a"-a'=（2a'^2-a"^2）/2，提公因式，（a"-a'）（a"+a'+2）=0；

4. 我们要找到数列收敛的c的范围，由数列收敛，得到a'=a"，而a"+a'+2的取值待定——

   a.假如a"+a'+2=0，则a"=-2-a'；

   b.又a"=c/2+a'^2/2，则-2-a'=c/2+a'^2/2，即a'^2+2a'+c+4=0；

   c.因为a'与a"此时相等，而b中方程的解对应数列{x2k}与{x2k-1}的极限的取值，所以不存在相异解，即Δ=4-4（c+4）<=0，c>=-3；

   d.若负项数列{an}收敛，则a"+a'+2当且仅当c=-3时为0，此时数列极限为-1，其余情况下，均不为0；

5. 由此得到，当-3<=c<0时，原负项数列收敛。

所以，本着探究的态度，我们结束了这一个复杂的习题。

我们下期再见！