贝克莱悖论；微积分基础引发的第二次数学危机
牛顿411、贝克莱悖论；微积分基础引发的第二次数学危机
微积分（数学概念）：…
…微、分、微分：见《牛顿321~336》…
…积、分、积分：见《牛顿337~405》…
…微积分：见《牛顿407》…
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
微积分历史
…历、史、历史：见《欧几里得111》…
…微积分历史：见《牛顿407~410》…
…
第二次危机
微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期，对18世纪的数学产生了重要而深远的影响。
但是牛顿和莱布尼茨（cí）的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础。这在初创时期是不可避免的。
…严、谨、严谨：见《欧几里得155》…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌。他们需要做的事情太多了，他们急于去攫（jué）取新的成果。基本问题只好先放一放。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…攫：形声。从手，矍（jué）声。本义：鸟用爪迅速抓取…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…问、题、问题：见《伽利略76》…
（…《伽利略》：小说名…）
正如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信心！”
…达朗贝尔（1717～1783）：法国著名的物理学家、数学家和天文学家…
数学史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。
…发、展、发展：见《伽利略21》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…自、由、自由：见《伽利略5》…
…创、造、创造：见《欧几里得152》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…
于是在微积分的发展过程中，出现了这样的局面：一方面是微积分创立之后立即在科学技术上获得应用，从而迅速地发展；另一方面是微积分学的理论在当时是不严密的，出现了越来越多的悖（bèi）论和谬（miù）论。
…过、程、过程：见《欧几里得194》…
…技、术、技术：见《欧几里得104》…
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…严、密、严密：见《欧几里得53》…
…悖、论、悖论：见《欧几里得27》…
…谬：见《欧几里得76》…
数学的发展又遇到了深刻的、令人不安的危机。
例如，有时把无穷小量看作不为0的有限量而从等式两端消去，有时却又令无穷小量为0而忽略不计。
…深、刻、深刻：见《欧几里得133》…
…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…
…量：见《欧几里得27》…
这些矛盾，引起了数学界的极大争论。
…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…
如当时爱尔兰主教贝克莱嘲笑“无穷小量”是“已死的幽灵”。
贝克莱对牛顿导数的定义进行了批判。
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
当时牛顿对导数的定义为：
当x增长为x+h时，x的立方（记为x^3）成为x+h的立方[记为（x+h）^3）]，
即x+h的立方结果为x^3+3x^2 h+3x h^2+h^3。
…^：乘方…
…x^3：x的3次方…
x与x^3的增量分别为h和3x^2 h+3x h^2+h^3。
x^3的增量除以x^3的增量的结果为3x^2+3x h+h^2，然后代入h=0让增量消失，则它们的最后结果为3x^2。
[上述文字符号化：
…符、号、符号：见《欧几里得160、161》…
∵ x→x+h （h≠0）
∴ x^3→（x+h）^3
又（x+h）^3=x^3+3x^2 h+3x h^2+h^3
∴ x的增量△x为h；
（x+h）^3的增量△y为3x^2 h+3x h^2+h^3。
…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。
在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…
△y/△x=（3x^2 h+3x h^2+h^3）/h=3x^2+3x h+h^2
令h=0，得△y/△x=3x^2+3x·0+0^2=3x^2]
我们知道3x^2这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设h 不为0，而在论证的后一部分又被取为0。
…结、果、结果：见《牛顿105》…
…正、确、正确：见《欧几里得13》…
…推、导、推导：见《欧几里得7》…
…假、设、假设：见《欧几里得78》…
…错、误、错误：见《欧几里得193》…
…论、证、论证：见《欧几里得149》…
那么h 到底是不是0呢？
这就是著名的贝克莱悖论。
这种微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机，而这次危机的引发与牛顿有直接关系。
…直、接、直接：见《欧几里得34》…
…关、系、关系：见《欧几里得75》…
历史要求给微积分以严格的基础。
…严、格、严格：见《欧几里得125》…
“柯西的贡献在于，将微积分建立在极限理论的基础上。
维尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数论。
因此，建立分析基础的逻辑顺序是实数系——极限论——微积分。
请看下集《牛顿412、微积分基础不稳固导致第二次数学危机》”
若不知晓历史，便看不清未来
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