【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第四章因式分解

§4-6因式分解的一般步骤

【01】上面我们学过了多项式因式分解的一些基本方法，利用这些方法可以分解某些多项式的因式。在解题的时候，按照下面的步骤来做，可以使我们容易得出正确的结果。

    (1)先看有没有公因式。如果有，要首先提取出来。

    (2)再看能不能应用各种因式分解的公式。

        1)如果是二项式，看能不能应用平方差公式，或立方和与立方差公式，如果既可以应用平方差公式，又可以应用立方差公式，总要先用平方差公式。

        2)如果是三项式，看能不能应用完全平方式的公式。

        3)如果是四项式，看能不能应用完全立方式的公式。

    (3)如果是二次三项式的形式，看能不能分解成二个一次二项式。

    (4)如果是四项式或四项以上的多项式，看能不能把多项式分成几组，或调换各项次序之后提取多项公因式，或联合应用几种公式。

    (5)在分解因式之后，还要看能不能继续分解，一定要分解到不能分解为止。

    (6)分解得到的结果要进行整理。

        1)在分解因式之后，有相同的因式要写成幂的形式。

        2)在各个因式内，要进行化简。

例1.分解因式：a⁴b－a²b³＋a³b²－ab⁴  。

【解】

【说明】先提公因式 ab  。再分成两组提出多项公因式 a²－b²  。再把 a²－b² 分解成 (a＋b)(a－b)  。两个 a＋b 的因式要写成 (a＋b)² 的形式。

例2.分解因式：8(x＋y)³－27(x－y)³  。

【解】

【说明】先按照立方差公式分解，不要忘记系数 8 就是 2³，27 就是 3⁸  。两个因式内部要去掉小括号整理合并同类项。19x²－10xy＋7y² 虽然是二次三项式的形式，但不能再分解了。

例3.分解因式：x¹⁸－3x¹²y⁶＋3x⁶y¹²－y¹⁸  。

【解】

【说明】先化成两数差的立方。x⁶－y⁶ 可以用平方差公式继续分解，也可以用立方差公式继续分解，应该用平方差公式，然后再用立方和差公式分解。注意在括号[ ]外边原来有指数 3，在最后一步中，去掉中括号时，根据积的乘方法则，每个因式都要有指数 3。

例4.分解因式：a²－2ab＋b²－5a＋5b＋6  。

【解】a²－2ab＋b²－5a＋5b＋6＝(a－b)²－5(a－b)＋6＝[(a－b)－3][(a－b)－2]＝(a－b－3)(a－b－2)  。

【说明】先分成三组，前面三项一组，可化成 (a－b)²，第4第5项一组，可以提出公因式－5，这样就化成 (a－b) 的二次三项式的形式，再照二次三项式分解。

例5.分解因式：(1)－a²＋6ab－9b²；(2)－x²－3x＋4  。

【解】

(1)－a²＋6ab－9b²＝－(a²－6ab＋9b²)＝－(a－3b)²；

(2)－x²－3x＋4＝－(x²＋3x－4)＝－(x＋4)(x－1)  。

【说明】这两个式子在提出负号之后，就比较容易分解因式，但是切勿漏掉负号。如果把－a²＋6ab－9b² 做成 a²－6ab＋9b²＝(a－3b)²，－x²－3x＋4 做成 x²＋3x－4＝(x＋4)(x－1)，那就错了。

习题4-6

分解因式：

【答案】