三边成形，几何稳定（2）

在2022年8月26日的专栏“三边成形，几何稳定”中我们得出结论：①对于任意一个可解的三角形，其外接圆和内切圆亦是可解的，其内切圆半径 r=√p（p-a）（p-b）（p-c）/p

；②对于任意一个直角三角形ABC，其斜边c与两直角边a、b满足不等式c≥√2ab，当且仅当a=b时取等号.

本文章常用符号：△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p为半周长

（Ⅰ）

我们先对第②条结论进行推广，即突破Rt△ABC的限制，推广到任意三角形.

不妨设c为较长边，a，b为较短边（∃a，b∈R⁺，a=b），

根据

余弦定理

，我们有：

c²=a²+b²-2abcosC，

又 a，b＞0

所以有

重要不等式

a²+b²≥2ab成立，当且仅当a=b时取等号

∴c²=a²+b²-2abcosC≥2ab（1-cosC）

∴

c²≥2ab（1-cosC），当且仅当a=b时取等号

又因为在此不等式的推导中，与c是否是较长边无关，所以：

对于任意的△ABC，总有

a²≥2bc（1-cosA），

b²≥2ac（1-cosB），

c²≥2ab（1-cosC）. （i）

成立，当且仅当令外两边相等时取等号.

因此，我们可以更好地理解第②条结论：

当∠C=90°时，其对边c自然而然成为了最长边（即Rt△ABC的斜边）因而c≥√2ab（1-cos90⁰）=√2ab（1-0）=√2ab.

另外地，根据

余弦定理

的转化和

平方差公式

，我们可以得到：

1-cosA=1-（b²+c²-a²/2bc)=（a²-b²-c²+2bc)/2bc=[a²-（b-c）²]/2bc=（a+b-c）（a+c-b）/2bc，

同理，1-cosB=（b+a-c）（b+c-a）/2ac，

1-cosC=（c+a-b）（c+b-a）/2ab

∴

a²≥（a+b-c）（a+c-b），

b²≥（a+b-c）（b+c-a），

c²≥（a+c-b）（b+c-a）. （ii）

其取等条件与（i）一致.

那么，我们姑且称不等式（i）为“三角形三边关系的角形式”，称不等式（ii）为“三角形三边关系的边形式”

（Ⅱ）

根据“三角形三边关系的边形式”我们可以研究三角形的一些其他性质.

根据

正弦定理

，我们有：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

∴S△ABC=½absinC=abc/4R

由“三角形三边关系的边形式”得：

S△ABC=abc/4R≥（a+b-c）（a+c-b）（b+c-c）/4R

由于涉及到三边，所以取等条件为当且仅当a=b=c，若引进半周长p=½（a+b+c），则

a²≥4（p-b）（p-c），

b²≥4（p-a）（p-c），

c²≥4（p-a）（p-b）.

所以S△ABC≥2/R（p-a）（p-b）（p-c），

其取等条件与上述面积不等式相一致.

再根据

海伦公式

得：

√p（p-a）（p-b）（p-c）≥2/R（p-a）（p-b）（p-c）

化简整理得：

R²≥4/p（p-a）（p-b）（p-c）

又由第①条结论得：

△ABC内切圆半径 r=√p（p-a）（p-b）（p-c），两边平方，得：

r²=1/p（p-a）（p-b）（p-c）

∴R²≥4r²⇔R≥2r

几何意义：任意一个三角形的外接圆半径总是不小于内切圆直径，当且仅当三角形为正三角形时，外接圆半径等于内切圆直径.

我们知道

欧拉公式

中有一个求外接圆和内切圆圆心距的公式 d=√R（R-2r），这个公式从客观上告诉我们△ABC总有R≥2r成立，由此，我们可以更好地理解该不等式的合理性.

（Ⅲ）

如何证明

欧拉圆心距公式

d=√R（R-2r）

？

为方便证明，我们不妨先求证 d²=R²/2Rr

以上便是本次专栏的所有内容，本人才疏学浅，如有不足之处望加之斧正.

2023.6.7