小题也开始卷联立？（2022新高考Ⅰ，16）

2023-01-07 12:55 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2022新高考Ⅰ，16）已知椭圆 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）， $C$ 的上顶点为 $A$ ，左、右焦点为 $F_1$ 、 $F_2$ ，离心率为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ .过 $F_1$ 且垂直于 $AF_2$ 的直线与 $C$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点， $%5Cleft%7C%20DE%20%5Cright%7C%3D6$ ，则 $%5Cbigtriangleup%20ADE$ 的周长是________.

解：

如图，连接 $AF_1$ 、 $DF_2$ 、 $EF_2$ ，易知

$%5Cleft%7C%20AF_1%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20AF_2%20%5Cright%7C%3Da%3D2c%3D%5Cleft%7C%20F_1F_2%20%5Cright%7C$ ，

故 $%5Cbigtriangleup%20AF_1F_2$ 为等边三角形，

故 $DE$ 为线段 $AF_2$ 中垂线，

故 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20AD%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20F_2D%20%5Cright%7C%7D$ ， $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20AE%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20F_2E%20%5Cright%7C%7D$ ，

故 $%5Cbigtriangleup%20ADE$ 的周长为

$%5Cleft%7C%20DE%20%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%20F_2D%20%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%20F_2E%20%5Cright%7C$ ，即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B4a%7D$ .

易知直线 $DE$ 的倾斜角为 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B6%7D$ ，

故可设其方程为 $x%3D%5Csqrt%7B3%7Dy-%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7D%20$ ，

与椭圆方程联立，得

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B52y%5E2-12%5Csqrt%7B3%7Day-9a%5E2%3D0%7D$ ，

所以 $y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7Da%7D%7B13%7D$ ， $y_1y_2%3D%5Cfrac%7B-9a%5E2%7D%7B52%7D$

所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cleft%7C%20DE%20%5Cright%7C%26%3D%5Csqrt%7B%5Cleft(%20%5Csqrt%7B3%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B1%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7B%5Cleft(%20y_1%2By_2%20%5Cright)%20%5E2-4y_1y_2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D2%5Csqrt%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7Da%7D%7B13%7D%20%5Cright)%20%5E2-4%5Ccdot%20%5Cfrac%7B-9a%5E2%7D%7B52%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B24a%7D%7B13%7D%7D%3D6%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Ba%3D%5Cfrac%7B13%7D%7B4%7D%20%7D$ ，

所以 $%5Cbigtriangleup%20ADE$ 的周长为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B13%7D$ .

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