龙格-库塔法(R-K)是一种求解常微分方程数值解的单步算法，其特殊形式有：欧拉法，改进欧拉法......本推文中基于泰勒级数法推导龙格库塔（显）格式，并附上各算法的matlab数值案例。

R-K格式理论基础

考虑常微分微分方程：

在x-y平面上，上述微分方程的解y=y(x)称作它的积分曲线；积分曲线上一点的切线斜率等于函数f(x,y)的值。

如果按照函数f(x,y)在x-y平面上建立一个方向场，那么积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向一致。

微分方程具有等效的积分方程形式：

采用数值积分近似右端项，事实上此时已经变成了一个差分方程：

数值积分格式的精度直接影响了微分方程解的精度。在此处称\fai为增量函数，求解的核心过程也就是构造增量函数的过程！以下对增量函数做一些分类，以定义不同的求解格式：

十分经典的求解格式有：

欧拉法，后退欧拉法，梯形法，改进欧拉法

它们对应的数值积分方法图示依次为：

上文提到数值积分格式的精度直接影响了微分方程解的精度（上述的四种经典方法由于积分点的限制，最高也只能到2-阶精度），那如何提高精度呢？答案是增加积分点。

为了更好地理解这一过程，我们从泰勒展开出发。将y(x_{n+1})在x_n点泰勒展开：

将上式中的高阶小量忽略，用\Delta作为求解格式，得到的便是一个p-阶算法。如果构造出的增量函数与\Delta足够接近，那么得到的也将是一个p-阶的求解格式。

现在推导p=2的R-K格式（2个积分点）：

最后让"同类项"的系数相等，可以得到：

这里的解不唯一，选择下面一组解，得到的将是改进的欧拉法（又称预估-校正格式：采用欧拉法预估，再用梯形法迭代一次进行校正；本质上是显示算法）：

对于更高阶的R-K格式，推导方法一致：

•选择更多的泰勒展开项;

•选择更多的积分点;

•全部展开后比较同类项系数;

下面给出R-K3与R-K4的常用格式：

数值案例

四种经典方法

定义微分方程

欧拉法

改进欧拉法

隐式欧拉法

梯形法

龙格库塔四阶方法

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