利用微积分解决几何问题|徐奥雯撰文|XUAOWEN|高等数学/初中数学/高中数学

2021-12-16 00:19 作者:徐奥雯XuAowen_利贝塔斯 0人读过 | 我要投稿

问题:一个如图正方形，AE=AB=2，以AE为斜边,在AE的左侧做等腰直角三角形AEF, 连接CE与CF,求CE+CF的最小值

解答: 将图放入极坐标系中

设角EAB为 $%5Calpha%20$ ,做点E到正方形两边的垂线并交于点a,b

则:

点E到线AB的垂线长度为 $2%5Ccdot%20%5Csin(%5Calpha%20)$

点E到线AD的垂线长度为 $2%5Ccdot%20%5Ccos(%5Calpha%20)$

因为正方形边长为2,所以Eb长度为 $2-2%5Ccdot%20%5Csin(%5Calpha%20)$ ,所以Ea长度为 $2-2%5Ccdot%20%5Ccos(%5Calpha%20)$

根据毕达哥拉斯定理 $Ea%5E2%2BEb%5E2%3DEC%5E2$

所以 $EC%5E2%3D(2-2%5Ccdot%20%5Csin%5Calpha%20)%5E2%2B(2-2%5Ccdot%20%5Ccos%5Calpha%20)%5E2$

所以 $EC%3D%20%5Csqrt%7B(2-2%5Ccdot%20%5Csin%5Calpha%20)%5E2%2B(2-2%5Ccdot%20%5Ccos%5Calpha%20)%5E2%7D$

乘开 $EC%3D%20%5Csqrt%7B4-8%5Csin%5Calpha%20%2B%5Csin%5E2%5Calpha%20%2B4-8%5Ccos%5Calpha%20%2B4%5Ccos%5E2%5Calpha%20%7D$

根据 $%5Csin%5E2x%2Bcos%5E2x%3D1$ 等化简得到 $EC%3D%5Csqrt%7B12-8(%5Csin%5Calpha%20%2B%5Ccos%5Calpha%20)%7D%20$

同理,做点F到两边的垂线可以得出

$FC%3D%5Csqrt%7B%5B2-%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot%20%20%5Csin(%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20)%5D%5E2%2B%5B2-%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot%20%20%5Ccos(%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20)%5D%5E2%7D%20$

化简得到 $FC%3D%5Csqrt%7B10-4%5Ccdot%20%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot%20%5B%5Csin(%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20)%2B%5Ccos(%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20)%5D%20%7D%20$

CE+CF的值则为

$CE%2BCF%3D%5Csqrt%7B12-8(%5Csin%5Calpha%20%2B%5Ccos%5Calpha%20)%7D%20%2B%5Csqrt%7B10-4%5Ccdot%20%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot%20%5B%5Csin(%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20)%2B%5Ccos(%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20)%5D%20%7D%20$