Strongart教授：从实数完备性公理看基础论

  有一种哲学思想叫做怀疑论，认为我们不可能得到确定的知识，理由大致是任何知识命题都需要有其他命题来论证，这样的过程是无限的，但人是有限的生物，因此其结果要么是无穷倒退，要么就是循环论证。

  对于这个问题，知识论中大致有两种主要思想：基础论与融贯论。基础论认为知识建立在一定的基础上，这样的基础是自明的或者是自我证成的，相当于用常值收敛避免了无穷倒退。融贯论则认为融贯本身就是一个论证辩护的过程，它把越来越多的信念带进系统，却没有出现问题被证伪，就说明系统本身也有价值的，这里的循环论证是不断增加内容的活循环。

  下面我们以实数系的完备性公理为例，来分析一下这两种观点。所谓实数系的完备性，大致有下面六个命题：

  1）确界公理：有上（下）界的实数集一定有上（下）确界。

  2）单调有界定理：单调有界的数列必有极限。

  3）区间套定理：无穷闭区间套一定交于一点。

  4）致密性定理：有界数列一定有收敛子列。

  5）柯西收敛原理：柯西数列一定是收敛数列。

  6）有限覆盖定理：有非空开覆盖的有界闭区间一定有有限开覆盖。

  事实上，这六个命题是可以相互推导的，你们觉得哪个命题更适合作为基础公理呢？一般来说，作为公理的命题要能够直观自明，但我第一次接触这六个公理的时候，看哪个都不像是直观自明的样子。事实上，直观的解释是“实数集上没有洞”，必须通过数学的技术语言才能实现。

  然后，我们寻找概念上最基本最简单的命题作为公理，这里基本未必就一定简单。命题1）用的集合要比命题2）的数列更基本，更适合作为教材体系中的公理；但一般学生会觉得数列的极限比集合的确界要简单，因此也有教材把命题2）作为公理的。

  由此可见，基础公理在一定意义上是人为约定的，但只要有融贯论在一边助攻，就不会影响基础论的价值，基础论不需要有确定无疑的基础。