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总览

本文简要介绍了一种简单的状态转移模型，该模型构成了隐马尔可夫模型（HMM）的特例。这些模型拟合时间序列数据中的非平稳性。从应用的角度来看，这些模型在评估经济/市场状态时非常有用。这里的讨论主要围绕使用这些模型的科学性。

基本案例

HMM的主要挑战是预测隐藏部分。我们如何识别“不可观察”的事物？HMM的想法是从可观察的事物来预测潜在的事物。

模拟数据

为了演示，我们准备一些数据并尝试进行反向推测。通过构造，我强加了一些假设来创建我们的数据。每个状态都具有不同的均值和波动率。

1. 


2. theta_v <- data.frame(t(c(2.00,-2.00,1.00,2.00,0.95,0.85)))

3. 


4. kable(theta_v, "html", booktabs = F,escape = F) %>%

5. kable_styling(position = "center")

如上表所示，状态s = 2变成“坏”状态，其中过程x_t表现出较高的变化性。 因此，停留在状态2的可能比停留在状态1的可能性小。

马尔可夫过程

为了模拟过程x_t ，我们从模拟马尔可夫过程s_t 开始。为了模拟T 期间的过程，首先，我们需要构建给定p_ {11} 和p_ {22} 的转换矩阵。其次，我们需要从给定状态s_1 = 1 开始。从s_1 = 1 开始，我们知道有95％的概率停留在状态1，有5％的概率进入状态2。

1. 


2. P <- matrix(c(p11,1-p22,1-p11,p22),2,2)

3. P[1,]

## [1] 0.95 0.05

因为它先前的状态，模拟s_t 是递归的。因此，我们需要构造一个循环：

1. 


2. for(t in 2:T_end) {

3. s <- c(s,st(s[t-1]))

4. }

5. plot(s, pch = 20,cex = 0.5)

上图说明了过程s_t的持久性。在大多数情况下，状态1的“实现”多于状态2。实际上，这可以由稳定概率确定，该稳定概率由下式表示：

P_stat[1,]## [1] 0.75 0.25

因此，有15％的概率处于1状态，而有25％的概率处于状态2。这应该反映在模拟过程中  s，从而

mean(s==1)## [1] 0.69

由于我们使用的是100个周期的小样本，因此我们观察到稳定概率为69％，接近但不完全等于75％。

结果

给定模拟的马尔可夫过程，结果的模拟非常简单。一个简单的技巧是模拟

的T周期和

的 T  周期。然后，给定 s_t  的模拟，我们针对每个状态创建结果变量 x_t  。

1. plot(x~t_index, pch = 20)

2. points(x[s == 2]~t_index[s==2],col = 2)

虽然总体而言时间序列看起来是平稳的，但我们观察到一些周期（以红色突出显示）显示出较高的波动。有人可能会建议说，数据存在结构性中断，或者区制发生了变化，过程 x_t 变得越来越大，带有更多的负值。虽然如此，事后解释总是比较容易的。主要的挑战是识别这种情况。

估计参数

在本节中，我将使用R软件手动（从头开始）和非手动进行统计分解。在前者中，我将演示如何构造似然函数，然后使用约束优化问题来估计参数。

似然函数-数值部分

首先，我们需要创建一个以  Theta 向量为主要输入的函数。其次，我们需要设置一个MLE的优化问题。

在优化似然函数之前。让我们看一下工作原理。假设我们知道参数 Theta 的向量，并且我们有兴趣使用 x_t  上的数据评估随时间变化的隐藏状态。

显然，这两种状态的每次过滤器的总和应为1。看起来，我们可以处于状态1或状态2。

all(round(apply(Filter[,-1],1,sum),9) == 1)## [1] TRUE

由于我们设计了此数据，因此我们知道状态2的时期。

1. plot(Filter[,3]~t_index, type = "l", ylab = expression(xi[2]))

2. points(Filter[s==2,3]~t_index[s==2],pch = 20, col = 2)

 

过滤器背后的优点是仅使用 x_t  上的信息来识别潜在状态。我们观察到，状态2的过滤器主要在状态2发生时增加。这可以通过发出红点的概率增加来证明，红点表示状态2发生的时间段。尽管如此，上述还是存在一些大问题。首先，它假定我们知道参数 Theta ，而实际上我们需要对此进行估计，然后在此基础上进行推断。其次，所有这些都是在样本中构造的。从实际的角度来看，决策者对预测的概率及其对未来投资的影响感兴趣。

手动估算

为了优化上面定义的  HMM_Lik 函数，我将需要执行两个附加步骤。首先是建立一个初始估计值，作为搜索算法的起点。其次，我们需要设置约束条件以验证估计的参数是否一致，即非负波动性和介于0和1之间的概率值。

第一步，我使用样本创建初始参数向量Theta_0 

在第二步中，我为估算设置了约束

请注意，参数的初始向量应满足约束条件

all(A%*%theta0 >= B)## [1] TRUE

最后，回想一下，通过构建大多数优化算法都可以搜索最小点。因此，我们需要将似然函数的输出更改为负值。

1. ## $par

2. ## [1]  1.7119528 -1.9981224  0.8345350  2.2183230  0.9365507  0.8487511

3. ##

4. ## $value

5. ## [1] 174.7445

6. ##

7. ## $counts

8. ## function gradient

9. ##     1002       NA

10. ##

11. ## $convergence

12. ## [1] 0

13. ##

14. ## $message

15. ## NULL

16. ##

17. ## $outer.iterations

18. ## [1] 3

19. ##

20. ## $barrier.value

21. ## [1] 6.538295e-05

为了检查MLE值是否与真实参数一致，我们绘制估计值与真实值的关系图：

1. plot(opt$par ~ theta_known,pch = 20,cex=2,ylab="MLE",xlab = "True")

2. abline(a=0,b=1,lty=2)

 

 

总体而言，我们观察到估计值非常一致。

估算 

我将在下面演示如何使用r软件复制人工估算的结果  。

如果我们要忽略过程中的任何区制转换，我们可以简单地将参数 mu 和 sigma 估计为

1. kable(mod_est, "html", booktabs = F,escape = F) %>%

2. kable_styling(position = "center")

平均而言，我们应该期望过程平均值约为1，即

。这是由期望定律得出的，其中我们知道

 

1. EX <- 0.75*2 + 0.25*-2

2. EX

## [1] 1

对于波动率，适用相同的逻辑。

## [1] 2.179449

我们注意到，回归估计值与波动率的一致性高于均值。

上面的观点是，估计值并未涵盖数据的真实性质。如果我们假设数据是稳定的，那么我们错误地估计过程的平均值为62％。但是，与此同时，我们通过构造知道该过程表现出两个平均结果-一个正面和一个负面。波动性也是如此。

为了揭示这些模式，我们在下面演示如何使用上面的线性模型建立区制转移模型：

主要输入是拟合模型，  mod我们将其归纳为拟合转移状态。第二个  k是区制的数量。由于我们知道我们要处理两个状态，因此将其设置为2。但是，实际上，需要参考一种信息标准来确定最佳状态数。根据定义，我们有两个参数，均值 mu_s 和波动率 sigma_s 。因此，我们添加一个true / false向量来指示正在转移的参数。在上面的命令中，我们允许两个参数都转移。最后，我们可以指定估计过程是否正在使用并行计算进行。

要了解模型的输出，让我们看一下

1. ## Markov Switching Model

2. ##

3. ##

4. ##        AIC     BIC    logLik

5. ##   352.2843 366.705 -174.1422

6. ##

7. ## Coefficients:

8. ##         (Intercept)(S)    Std(S)

9. ## Model 1       1.711693 0.8346013

10. ## Model 2      -2.004137 2.2155742

11. ##

12. ## Transition probabilities:

13. ##            Regime 1  Regime 2

14. ## Regime 1 0.93767719 0.1510052

15. ## Regime 2 0.06232281 0.8489948

上面的输出主要报告我们尝试手动估算的六个估算参数。首先，系数表报告了每个状态的均值和波动。模型1的平均值为1.71，波动率接近1。模型2的平均值为-2，波动率约为2。显然，该模型针对数据确定了两种具有不同均值和波动率的不同状态。其次，在输出的底部，拟合的模型报告了转移概率。

有趣的是，就每种状态的过滤器而言，我们将从包中检索到的状态与手动提取的状态进行比较。根据定义，可以使用图函数  来了解平滑概率以及确定的方案。

par(mar = 2*c(1,1,1,1),mfrow = c(2,1))

 

 

顶部的图表示随时间变化的过程 x_t ，其中灰色阴影区域表示

的时间段。换句话说，灰色区域表示状态1占优势的时间段。

plot(x~t_index,type ="l",col = 0,xlim=c(1,100))

 

 

过滤器会在一个周期内检测到第二种状态。发生这种情况是因为在这种情况下，返回的是平滑概率，即在实现整个样本 T  后处于每种状态的概率，即

。另一方面，来自手动估计的推断概率

。

无论如何，由于我们知道状态的真实值，因此可以确定我们是否处于真实状态。我们在上面的图中使用黑点突出显示状态2。总的来说，我们观察到模型在检测数据状态方面表现非常好。唯一的例外是第60天，其中推断概率大于50％。要查看推断概率多长时间正确一次，我们运行以下命令

mean(Filter$Regime_1 == (s==1)*1)## [1] 0.96

结束语

在实际数据实现方面仍然存在许多挑战。首先，我们不具备有关数据生成过程的知识。其次，状态不一定实现。因此，这两个问题可能会破坏区制转移模型的可靠性。在应用方面，通常部署此类模型来评估经济或市场状况。从决策上来说，这也可以为策略分配提供有趣的建议。