有理根定理及其简单应用

hello，大家好！😆😆

在上一期专栏中，up介绍了瞪眼法，是解决高次多项式因式分解、解一元高次方程的一种常用方法

事实上，瞪眼法是比较讲究技巧的，技巧就体现在如何快速地找到零点

这期专栏我们就来看一看有理根定理，可以帮助你快速找到一个整系数多项式方程的有理根

事实上，在中学阶段，我们更加盼望方程的解是有理数，否则是很难解出的。换而言之，我们如果在中学阶段遇到整系数高次方程，应首先考虑方程是否存在有理根

其实在初中时，我们解一元二次方程常用到的十字相乘法就是用了这个道理，把二次项系数和常数项分别拆成两数之积，然后交叉相乘相加来凑出一次项系数，如图所示：

因为是二次方程，我们好像还看不出来什么，但是更高次的呢？

事实上，对于更高次的方程，我们同样可以有类似的操作：分解最高次项系数和常数项

为什么可以这么做呢？下面我们就来看看有理根定理：

该定理的证明较为容易：

由该定理可见，多项式方程的有理根的分子和分母一定分别整除方程的常数项和最高次项系数。这就大大降低了寻找有理根的难度

特别地，若方程的最高次项系数为 ，则方程的有理根一定为正数，且该整数整除常数项

让我们来实践一波！

【例】解方程：

【解】首先考虑有理根的情况，若存在有理根，则根据有理根定理，有 ，，从而有理根只能为  或 

分别代入尝试，可以发现  恰好满足方程！于是该方程有一个根为 

接下来，可以运用  进行因式分解：

     

于是只要再解 

解得 

故原方程的解为  或 

好了，以上就是全部的内容了，感谢大家的支持与收看

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