题目

1. 已知，，。用解析法求三个圆的公共外切圆，不考虑特殊情况。若结果是复杂或冗长的，允许使用换元法表示。（40分）

2. 选择一种你喜欢的编程语言验证第一题中所推出的结论。在整个考试过程中都允许进行程序实验。（40分）

3. 如要用上述结论求过三个已知点的圆，该如何修改已知条件？（2分）

4. 如要用上述结论求三个圆的内切圆，该如何修已知改条件？（3分）

5. 上述问题中都由三个约束条件求得一个圆。若三个条件不全是内切、外切和过定点，而是这三种条件的组合，该如何修改已知条件，使上述结论仍可用于求圆？（5分）

6. 在第五题中，满足条件的圆何时不唯一，此时怎么表示出所有的圆？（10分）

参考答案

1.设它们的公共外切圆的圆心为(x,y)，半径为r，则原问题可表示为：

用（1）式减（2）式，（2）式减（3）式得：

换元并化简前两式得：

最后一式可看做以r为变量的一元二次方程，直接套用求根公式可得答案为：

求根公式中√Δ的符号由第二题的实验确定，它恒为负。

2. 选用HTML语言，代码如下，它可直接用浏览器运行。

3. 将三个已知半径都设成0。

4. 将三个已知半径都变号。

5. 外切条件对应的半径不变，内切条件对应的半径变号，过定点条件对应的半径设成0。

6. 第一题的最后一步中，由求根公式可得其主解。由实验可得，若其副解也为正实数，则圆的主解和副解同时成立，故圆有两个解。此时，圆的三个约束条件不是同一类型（内切/外切/过定点），且三个已知圆的圆心近似在一条直线上，如下图所示。