【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep66】实数完备性定理第四发：柯西准则

我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。

我们在Ep61介绍了“实数完备性”的第三个定理——“闭区间套定理”：

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

今天开始介绍“实数完备性”的第四个定理——“柯西准则”。

39收敛原理

“柯西准则”又称“柯西收敛原理”，是一个数列极限存在的充要条件——

条件：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

结论：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

但凡充要条件，必然证明分为必要性和充分性两部分——

a.必要性：用数列极限的定义证明即可——

已知：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'；

求证：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε。

分析：要证明，|xn-xn'|<ε，即-ε<xn'-xn<ε，而对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'且n'>N'，都有|xn-x|<ε'，|xn'-x|<ε'，即x-ε'<xn<x+ε'，x-ε'<xn'<x+ε'，-2ε'<xn'-xn<2ε'，所以，只要取ε'=ε/2，N=N'即可使目标不等式成立。

证明：

1. 对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N，都有|xn-x|<ε/2，|xn'-x|<ε/2，即x-ε/2<xn<x+ε/2，x-ε/2<xn'<x+ε/2；

2. 由1得，-ε<xn'-xn<ε，|xn-xn'|<ε；

3. 综合1,2，对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε，证毕。

b.充分性

已知：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

求证：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

工具：实数分划（实数分划与实数一一对应）。

分析：这里最关键的步骤是这个实数分划的构造——

“对于实数a，若xn从某一序号开始能满足不等式：xn>a，则取这种实数a归入下组A.取其余的（即不落在A内的）一切实数a'归入上组A'.”

这里要理解A和A'对应的所有元素具有怎样的规律，我们用列举前几项来总结规律（注：min{……}表示……中最小的数）——

n=1时，满足条件的a1，必然同时满足x1>a1，x2>a1，x3>a1，……xn>a1，……令X1=min{x1，x2，x3，……，xn，……}>a1，所有a1构成集合A1；

n=2时，满足条件的a2，必然同时满足x2>a2，x3>a2，……xn>a2，……令X2=min{x2，x3，……，xn，……}>a2，所有a2构成集合A2；

n=3时，满足条件的a3，必然同时满足x3>a3，……xn>a3，……令X3=min{x3，……，xn，……}>a3，所有a3构成集合A3；

以此类推……

n=k时，满足条件的ak，必然满足xk>ak，……xn>ak，……令Xk=min{xk，……，xn，……}>ak，所有ak构成集合Ak；

……

我们来分析这些集合之间的关系——

易得，X1<=X2<=X3<=……<=Xk<=Xk+1……——

当xk>=Xk+1时，Xk=Xk+1；

当xk<Xk+1时，Xk<Xk+1，且Xk=xk。

——Xn构成一个单增数列{Xn}。

又——

1. 对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε，则xn<xn'+ε；

2. 对于任意自然数n，有Xn<=xn；

3. 结合1,2，对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有Xn<=xn<xn'+ε；

4. 综合1,2,3，取ε0>0，存在自然数N0，当n>N0且n'>N0时，有Xn<=xn<xn'+ε0，即对于任意n>N0，{Xn}有上界p；

5. 又X1<=X2<=X3<=……<=XN0，对于任意n<=N0，{Xn}有上界q；

6. 结合4,5，{Xn}有上界max{p,q}；

7. {Xn}单增有上界，则{Xn}有极限x。

——所以充分性用单调有界定理肯定可证，我们回到书上，实数分划的构造（实数分划构造，检验四个步骤：不漏、不重、不空、不乱）——

证明——

step1：构造实数分划——

1. 由分划的构造方式结合排中律直接可得，A和A'覆盖所有实数，且没有公共元素——不漏、不重；

2. 已知，对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε，即xn'-ε<xn<xn'+ε，则A中必然包含元素xn'-ε，非空，A'中必然包含xn'+ε，非空——不空；

3. 反证法：如果存在a0>a0'，其中a0为A的元素，a0'为A'的元素，由A和A'的构造可知，存在n0，使得xn0>a0>a0'，则a0'也是A的元素，但是已知，A和A'没有公共元素，导出矛盾，即对于任意a和a'，都有a<=a'，又A和A'没有公共元素，等号恒不成立，即a<a'——不乱；

4. 由1,2,3可知，构造了一个实数分划，即得到唯一对应的实数（该分划的界数）x。

step2：证明这个数即为所求极限——

1. 对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'且n'>N'时，有|xn-xn'|<ε'，即xn-ε'<xn'<xn+ε'，则A中必然包含元素xn-ε'，A'中必然包含xn+ε'，即xn-ε'<x<xn+ε'，即|xn-x|<ε'；

2. 将1简化：对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。，即数列{xn}有极限x，证毕。

下一期开始，聊一下这个定理其他三个定理的互推。