含有四个对象的容原理

        我们已经能够熟悉的求解了两个、三个对象的容斥原理，理解起来也非常简单。现在如果有四个对象了，你还会求解吗？相信大家都不会，那么喜欢数学的人们就跟着小编一起往下读吧。

        不过，想要会求解，还要弄懂它的元素个数之间有什么关系。

        如图，我用1表示对象A，2表示对象B，3表示对象C，4表示对象D。观察veen图的相交位置关系。如果你细心观察，深入想想，那么你会发现，5表示1和2相交，7表示1和2以及3相交，11表示4和2以及3相交。由这两个前提，我们可以推论出1和4相对称。

        假设换作两个对象的容斥原理的角度来看，7和11分别是以2和3为中心而对称的，而上述中含有1,11中含有4,1和4也是分别以2和3为重心而对称的，这样就推论出了6与2和3相交。

        那么2和4的相交怎么处理呢？这时换做三个对象的容斥原理的角度来看，得到的结果和上一步是同理的，那我么就取7和11的补集，这时2和4的相交已经解决了。最后的两个对象的容斥关系只剩3和4了，根据排除法，把上面所有得到的可能和最后一步中得到公有的元素2都排除掉，结果果然只剩下2和4了。这里的公共元素我就不说了。

        现在是时候处理3个公共元素的容斥关系了！由于8是关于7和11的相交位置。而7与1和5以及6相交，11与9和10以及4相交，那么取7和11的并集，就得到了我们需要的2和3以及4所取的相等的交集。

        最后是四个对象的容斥关系了，这时切入正题。与8相交的元素有5、6、7、8、2、3、9、10以及11；与9相交的元素有5、7、2、8、4、9以及6；与10相交的元素有6、7、8、3、4以及10，然后我们把三组相交的元素分别看成三个集合，就可以解决下一步了。取这三个集合的交集，就是最终的的目标，答案为{6,7,2,8}。

        那么公式该怎么的来？我们分部分析。

        1,2,3,4是独立存在的，必然要相加。

        接下来看两个对象的。既然是两个，那么就一定要用减法，但减几倍就靠重复几次来决定的，只要提到“含有”或“对称”，那么就要多倍相减。由于三个对象只列举了一种可能，所以只要减一个数就可以了（根据容斥关系选取合适的对象确定数）。

        既然是四个对象的容斥原理，那就意味着有四个对象由公共元素，这类元素也是要加上去的。

        综上所述，公式就是A+B+C+D-A∩B-A∩C-A∩D-B∩C-B∩D-C∩D（注意提到“含有”或“对称”，碰到一次减一次）-B∩C∩D（不止该一种组合，根据容斥关系确定）+A∩B∩C∩D。