很久没写专栏聊，今天水一篇专栏.昨天留了一道思考题给自己，也给诸位感兴趣的读者：

这道题如何找到切入点呢？这还得从我推导“横波传播的波形图解析式”开始讲起...

我们就先来看这个问题：推导横波传播的波形图解析式？

在高中物理机械运动板块，“某一处质点的振动图像”和“某一时刻机械波的波形图”是两个很容易混淆的图！

他俩长得很像(易混淆的原因)，反映的信息却不同。

先来解释不同之处：

其中前者可比作“拍电影”，即对某一个质点进行录像，我们就可以得出每一时刻该质点的位置；

而后者可比作“拍照片”，即在这一时刻对所有质点进行拍照，我们就可以得出这一时刻所有质点的位置。

再来解释相近之处：两图像都是正/余弦型三角函数

其中振动图像在理论中需要用这一微分方程来推。

ps:至于方法的由来这里就先不赘述了...

利用线性微分方程的特征根法可解得：，将初位移和初速度两个初值代入即可解得，从而求出的表达式

但不论初值如何，(即通解)的性质可确定是三角函数，我们可以利用辅助角公式将表达式化为：，其中

由此我们可以得知简谐运动的解析式是正/余弦型三角函数，且振动周期为

这便是振动图像的性质。

推导完振动图像，我们再来看波形图的解析式。

首先要明确概念：横波传播时质点不随波迁移，传播的只是振动形式。也即后面的质点是被前面的质点“带动”起来的，或者理解为“紧接着模仿前者”。

明白了这点我们就可以推导出波形图解析式了。

设原点处为波源，一质点从t=0时刻开始振动，振动解析式为：

波向右传播，波速为

取时刻来研究波形图：

我们先取首末两个特殊点研究

振源处已经振动了，那么代入振动解析式得，其在此时刻的位移为

另一方面，波传播了的距离，那么此刻在最右端处的质点刚开始起振

也就是比振源滞后时间后才开始起振。

我们要求此刻波形图解析式，也即求出图像的解析式。因此上文分析知，我们的关键是

找到位于处的质点比振源滞后的时间！

取此刻处的质点研究。波由原点转至此处需要的时间为，也即该点比振源晚后才起振。因此此刻该处质点的位移为

ps:其中为波的传播时间，也是振源振动的总时长；

为波传播到x处所需时间，也是该处质点比振源滞后振动的时间;

因此为此刻x处质点已经振动的时长

再代入振动表达式即得此刻该点处的位移y

注意上面标浅蓝色的部分，这个函数中x是自变量y是因变量，即此刻波形图的方程

限制下x的取值范围，即

因此y-x的图像也是正/余弦型三角函数

需要注意的是，这里的表达式中为参数，如果我们让由0开始增加，那么波形图就会不断变长(但波长和振幅不变)，也即对这个y-x图像向右平移，同时增大定义域。

ps:desmos的解析式如下：

看有人能在专栏中发动图我也想做几个，但目前还不会所以就附上desmos的解析式让感兴趣者对照着输入进行研究了。可以控制变量再研究下剩余几个参数对波形图的影响，以助于加深对正/余弦波性质的理解。

另外，那个参数草率地用替代了

明白了这点，我们再看几个类似的场景以熟悉这种(同一时刻)质点排列图的理解。

如：在雨后，一条(横向)圆柱型扶栏上沾满积水。

如果我没表述清楚就请看图，我说的就是最顶上的那条横向圆柱

现敲击该扶栏，则扶栏上的水由近到远以此低落(理想化为自由落体)，其中振动形式传播速度为，问t时刻这些雨点在空中的排布曲线？

以敲击点为原点建轴，由于左右对称，因此只需研究敲击点右边部分的图像

取 时刻进行研究

振动形式由敲击点传到处所需时间为 ，因此该点比敲击点处雨滴晚 后下落，因此该点处雨滴已经下落的时间为 

取向上为正方向，代入自由落体位移公式，有： 

因此该时刻(敲击点右侧)排布曲线方程为：

 

由方程得知排布曲线是一条抛物线，其图像如下：

当 由0逐渐增大时，即对排布曲线向右平移，同时增大定义域。

ps:desmos的解析式如下：

另外，下面给出这个问题的拓展形式：

若一架飞机以速度 前行，其连续不间断地向地面投掷物资【就不用炸弹这么血腥了( 】

问t时刻所有物资在空中的排布曲线？

这个问题答案比较简单，但你能更深层次地推导出排布方程，那才算领悟了上文中求这种方程的内核

后面想想还是先结尾吧，一是考虑到这些例题堆砌在一起显得有些冗杂；二是考虑到阿B专栏中有限制公式/图片个数的机制，因此这道题就先留给感兴趣的读者进行思考，后续会再出一篇专栏续上讲解分析~