MIMO 信道容量的数学推导（二.2）发送方不知道信道系数矩阵

在发送方不知道信道矩阵 H 的情况下，我们只能在各个发射天线上均匀分配能量，我们推导出来的信道容量公式为：

其中  是 分解后  的对角线上的元素，也就是  的特征值。

现在来讨论一个问题，信道矩阵 H 满足什么条件，能让 (1) 式的信道容量最大呢？我们以  为特例来讨论。

这里，我们需要假定信道的转移系数满足一个固定的约束，即各个信道对能量的放大是一个定值：


 是 Frobenius 范数，就是各个元素的平方和。


根据线性代数的定理 ( 这里谁能帮忙提供一个证明？）：


其中  是  的特征值。

所以，问题就变成一个最优化求解的问题：


用拉格朗日乘数法可以求得最优解，当：

时取得最大值。

如果  ，那么

则信道容量为：

此时，这个信道是一个正交信道，即： H 是正交复数矩阵（这里的证明，我还没有想通，谁可以指点一下，请留言！！）。

通俗地理解，就是各个信道之间的没有相互干扰，是正交的，所以，是可以相互分离开的。

 两两正交，那么：

这样就解耦了，直接可以恢复出来 .