烷烃的计数问题(数竞生眼中的有机化学——组合计数)(part 3 烷烃计数)

上篇请见：

书接上回，我们来解决烷烃的计数问题。设n烷的数量为Bn，我们来寻找Un,Vn与Bn之间的关联。

有些同学可能会想到：我若是将每一种n烷的每一个C原子分别视作特殊的，再累加起来，不就得到了nBn＝Un吗？

这个思路看起来似乎是没错的，但忽略了去重的问题。请看：

这个丙烷，以1或2为特殊C原子，看上去都是一样的。像这种C原子的关系称为等价。所有彼此等价的C原子构成一个集合，称为一个等价类。例如，图中1和2是等价的。并且有两个等价类｛1，2｝和｛3｝。

我们需要知道的是等价类的数量。为此，还需引入碳键的等价类。定义是类似的。

对于一个烷烃，设碳的等价类有p个，键的等价类有q个，那么：

如果我们把只有一段连接碳链的C原子称为1阶C原子，它们所连接的C原子称为2阶C原子，连接1，2阶C原子的键称为1阶碳键;2阶C原子连接的，且不是1，2阶C原子的C原子，称为3阶C原子，连接2，3阶C原子的键称为2阶碳键……以此类推，可以给每个原子和键分阶。

我们容易发现：两个n阶C原子等价当且仅当它们所连接的n阶碳键等价;而且等价的C原子必然同阶。

这样一来，我们就在C原子等价类和碳键等价类之间构建了一一对应。如果说只含一个元素的等价类是平凡的，那么非平凡的C原子等价类和碳键等价类数量相等。

如果一个烷烃中有x个非平凡的等价类，其中的C原子/碳键有y个，那么p＝x+(n-y),q＝x+(n-1-y)，从而：p＝q+1

等一下！有些敏锐同学可能察觉到了问题：C原子和碳键的一一对应一定成立吗?两个C原子有没有可能对应到同一个碳键?

事实上，这是有可能的。如果存在这样的状况，我们会发现这个碳键的两侧完全一致。在图论中我们把这样的键称为对称边。既然是对称的，我们就容易发现p＝q

把这两式统一一下：p-q+s＝1.其中s在有对称边时为1，无对称边时为0.

对每一个烷烃我们都能写出这样的式子。把所有这样的算式相加：Un-Vn+∑s＝Bn.

最后的问题就在于：∑s＝?

容易发现其等于所有对称边的个数。这样的碳键两侧是两个完全一致的烷基。从而，对一个n烷，对称边的数量就是n/2基的数量，∑s＝An/2.(特别地，n为奇数时，An/2＝0，毕竟这时对称边是不存在的)

这样我们就得到了公式Un-Vn+An/2＝Bn.

让我们以一个简单的例子来回顾一下：

图中，C原子等价类有｛1,4｝，｛2,3｝.｛1,4｝对应了等价类｛1'，3'｝，而｛2，3｝对应了对称边2'.因此，p＝2,q＝2,s＝1,p-q+s＝1成立。

最后附一张Bn的计算表，我们终于完全解决了此问题，可喜可贺( ˙˘˙ )

今天的组合计数小课堂就到这里，顺祝学习进步( ˙˘˙ )