注意，FastDPM ≠ DPM Fast。前者（即这篇笔记的对象）是 2106.00132，后者是 2206.00927

连续化

对于离散的扩散过程，我们首先希望将其连续化。

首先，论文定义了两个变量，扩散步数  和噪音等级  （这两个变量都是连续的），扩散步数就是当前扩散所处的位置，噪音等级用来形容当前图片上高斯噪声的强度。然后，我们设定两个函数  和  ，这两个函数可以对扩散步数  和"噪音等级"  进行互换: . 

那这两个函数具体是什么呢？

对于函数 R 来说，论文里首先将其定义为 . 顺便一说，. 并且，根据定义，我们知道 .

在这里，我们通过定义一个常数 （ 都是常数），然后将公式  进行改写：

这里的 Gamma 函数相当于是在离散和连续之间架起了一个桥梁。

然后，根据   的定义，我们得到了函数 R 的具体形式：

至于 , 论文中是利用了一个二分法搜索来寻找符合下面条件的数值解。

如果没看懂上面公式，没关系，我也没看懂，以上的公式在算法里面其实并不是那么的重要。

前向（加噪）与逆向（去噪）过程

首先是加噪过程，如果原 DDPM 一共包含了  步的话，那么我们选一个比  小的值  然后获得一个新的序列，. 且 .

选取这个新的序列的方式有两种，一种是我们预先指定一个方差的序列，然后针对序列里的每一个方差，我们根据公式推算出  的值，进而求得  的值，这种方式论文里面称作 VAR。另一种是我们指定一系列的扩散时间点 (即，从原来的扩散步数 里面选出一个子集)，根据时间点推算出  的值，进而求得  的值，这种方式论文里面称作 STEP。

那么预先指定的这个序列如何获得呢，论文里面给出了两种比较靠谱的策略，一种是 Linear 策略，一种是 Quadratic 策略. 对于 VAR 来说，

对于 STEP 来说，

上面这些符号的意思，不用太去深究。个人的第六感认为，其实论文里面重要的是这两种策略，把离散的过程变成连续的过程并不是什么特别稀奇的事情。但是如何选取序列，让生成的图像不过于劣化，是比较重要的地方。

然后是去噪过程，论文里面也给出了两种方法，一种基于 DDPM，一种基于 DDIM. 但是这里因为只有公式，没有什么特别的地方，就略过了。

完。